Question

【題目】如圖，半圓O的直徑AB＝4，以長(zhǎng)為2的弦PQ為直徑，向點(diǎn)O方向作半圓M，其中P點(diǎn)在弧AQ上且不與A點(diǎn)重合，但Q點(diǎn)可與B點(diǎn)重合．

（1）弧AP的長(zhǎng)與弧QB的長(zhǎng)之和為定值l，請(qǐng)直接寫(xiě)出l的值；

（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M與AB的最大距離，此時(shí)點(diǎn)P，A間的距離；點(diǎn)M與AB的最小距離，此時(shí)半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形面積．

（3）當(dāng)半圓M與AB相切時(shí)，求弧AP的長(zhǎng)．

（注：結(jié)果保留π，cos 35°＝，cos 55°＝）

Answer 1

【答案】（1）；（2），2， ， ；（3）弧AP的長(zhǎng)為或．

【解析】試題分析：（1）半圓O的長(zhǎng)度是固定不變的，由于PQ也是定值，所以的長(zhǎng)度也是固定值，所以與的長(zhǎng)之和為定值；

（2）過(guò)點(diǎn)M作MC⊥AB于點(diǎn)C，當(dāng)C與O重合時(shí)，M與AB的距離最大，此時(shí)，∠AOP=60°，AP=2；當(dāng)Q與B重合時(shí)，M與AB的距離最小，此時(shí)圍成的封閉圖形面積可以用扇形DMB的面積減去△DMB的面積即可；

（3）當(dāng)半圓M與AB相切時(shí)，此時(shí)MC=1，且分以下兩種情況討論，當(dāng)C在線段OA上；當(dāng)C在線段OB上，然后分別計(jì)出的長(zhǎng)．

試題解析：

(1)如圖1,連接OP、OQ,

∵AB=4，

∴OP=OQ=2，

∵PQ=2，

∴△OPQ是等邊三角形，

∴∠POQ=60°，

∴，

又∵半圓O的長(zhǎng)為： π×4=2π，

∴=2π ，

∴；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)M作MC⊥AB于點(diǎn)C，連接OM，

∵OP=2,PM=1,

∴由勾股定理可知：OM=，

當(dāng)C與O重合時(shí)，

M與AB的距離最大,最大值為，

連接AP，

此時(shí)，OM⊥AB，

∴∠AOP=60，

∵OA=OP，

∴△AOP是等邊三角形，

∴AP=2，

如圖3,當(dāng)Q與B重合時(shí),連接DM，

∵∠MOQ=30°，

∴MC=OM=，

此時(shí),M與AB的距離最小,最小值為，

設(shè)此時(shí)半圓M與AB交于點(diǎn)D，

DM=MB=1，

∵∠ABP=60°，

∴△DMB是等邊三角形，

∴∠DMB=60°，

∴扇形DMB的面積為： ，

△DMB的面積為： MCDB=，

∴半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形面積為： ；

（3）當(dāng)半圓M與AB相切時(shí),

此時(shí)，MC=1，

如圖4，當(dāng)點(diǎn)C在線段OA上時(shí)，

在Rt△OCM中，

由勾股定理可求得：OC=，

∴cos∠AOM=，

∴∠AOM=35°，

∵∠POM=30°，

∴∠AOP=∠AOM∠POM=5°，

∴，

當(dāng)點(diǎn)C在線段OB上時(shí)，

此時(shí),∠BOM=35°,

∵∠POM=30°，

∴∠AOP=180∠POM∠BOM=115°

∴，

綜上，弧AP的長(zhǎng)為或．