Question

聰明好學(xué)的小敏查閱有關(guān)資料發(fā)現(xiàn)：用不過圓錐頂點且平行于一條母線的平面截圓錐所得的截面為拋物面，即圖（1）中曲線CFD為拋物線的一部分．圓錐體SAB的母線長為10，側(cè)面積為50π，圓錐的截面CFD交母線SB于F，交底面圓P于C、D，AB⊥CD，垂足為O，OF∥SA且OF⊥CD，OP=4．
（1）求底面圓的半徑AP的長及圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)；
（2）當(dāng)以CD所在直線為x軸，OF所在的直線為y軸建立如圖（2）所示的直角坐標(biāo)系．求過C、F、D三點的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在拋物面CFD中能否截取長為5.6，寬為2.2的矩形？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合圓錐側(cè)面面積公式，即可求出底面面積AP及圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)；
（2）連接CP，根據(jù)勾股定理，可求出OC和OD的長度，根據(jù)SA=SB=AB=10可以得到等邊三角形，即可推出OF=OB=9，所以在坐標(biāo)系中就可以求出拋物線的解析式；
（3）本題要進(jìn)行分析討論，當(dāng)長邊平行于CD時，x=5.6÷2=2.8時，y=-2.8²+9＜2.2，（符合題意），當(dāng)短邊平行于CD時，x=2.2÷2=1.1時，y=-1.1²+9＞5.6（不合題意，舍去）．

解答：解：（1）設(shè)AP=r，則

1

2

×2πr×10=50π，
∴r=5．（1分）
設(shè)圓心角的度數(shù)為n，則nπ×10²÷360=50π
∴n=180°，AP=5
答：AP的長5，圓錐側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為180°；（2分）

（2）連接CP，在Rt△COP中，CP=5，OP=4，
∴CO=3（3分）
∵P為圓心，PO⊥CD，
∴CO=DO，即AB垂直平分CD．
∵AB=10，SA=SB=10，
∴△SAB為等邊三角形，
∴∠SAB=∠ABS=60°，
∵FO∥SA，
∴∠FOB=∠OBF=60°，
∴FO=OB=4+5=9，
∴F（0，9），（5分）
因為AB垂直平分CD，
∴F為過C、F、D三點的拋物線的頂點，
設(shè)拋物線的關(guān)系式y(tǒng)=ax²+9，過C（-3，0）得
a（-3）²+9=0，
∴a=-1，
∴y=-x²+9；（7分）

（3）當(dāng)x=5.6÷2=2.8時，y=-2.8²+9＜2.2，（8分）
當(dāng)x=2.2÷2=1.1時，y=-1.1²+9＞5.6（9分）
∴由矩形與拋物線的對稱性可知，能截取長為5.6，寬為2.2的矩形（10分）．

點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、勾股定理，圓錐側(cè)面積公式等知識點，綜合性強，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．