Question

（2012•宜昌一模）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，以A為圓心，AD為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)M，與AB交于點(diǎn)E，若AD=2，BC=6，求

DE

的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：首先連接AM，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，易得四邊形AMFD為矩形，Rt△AMB≌Rt△DFC，則可求得BM=FC=2，AM=AD=2，即可得△ABM是等腰直角三角形，求得∠BAM的度數(shù)，繼而可求得∠BAD的度數(shù)，然后由弧長(zhǎng)公式求得答案．

解答：解：連接AM，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，
∵⊙A與BC切于點(diǎn)M，
∴AM⊥BC，
∵AD∥BC，
∴AM⊥AD．
∴四邊形AMFD為矩形．
∴MF=AD=2，AM=DF，
在Rt△AMB和Rt△DFC中，

AB=DC AM=DF

，
∴Rt△AMB≌Rt△DFC（HL），
∴BM=FC=

BC-MF

2

=2，
又∵⊙A中，AM=AD=2，
∴BM=AM=2，
∴∠BAM=45°，
∴∠BAD=45°+90°=135°，
∴

DE

的長(zhǎng)=

135π×2

180

=1.5π．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、等腰梯形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、直角三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及弧長(zhǎng)公式．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．