Question

如圖，直線y=x-1與雙曲線y=

k

x

（x＞0）交于點(diǎn)A（2，m）．
（1）求m、k的值．
（2）利用圖象寫出當(dāng)x為何值時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值．
（3）連接OA，在x軸的正半軸上是否存在一點(diǎn)P，使△AOP是等腰三角形？若存在，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A（2，m）在直線y=x-1上，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式就可以求出m的值；再把A代入雙曲線y=

k

x

（x＞0）中即可求出k的值．
（2）根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象特征即增減性可以確定一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值時(shí)x的取值范圍．
（3）要求點(diǎn)P需要用到等腰三角形的性質(zhì)和等腰三角形成立的條件來判斷點(diǎn)P的位置．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（2，m）在直線y=x-1上，
∴m=2-1=1．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，1）．
∵點(diǎn)A（2，1）在雙曲線y=

k

x

上，
∴1=

k

2

，
∴k=2；

（2）由圖象得：當(dāng)x＞2時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值；

（2）存在．
過點(diǎn)A作AD⊥x軸，交x軸于D，
∵OA=

22+1

=

5

，
∴sin∠AOP=

OD

OA

=

5

2

，
①當(dāng)OP=AP時(shí)，
過點(diǎn)P作PC⊥OA，
∴OC=

5

2

，
∴sin∠AOP=

OP

OC

=

5

2

，
∴CP=

5

4

，
∴P₁（

5

4

，0）；
②當(dāng)OP=OA時(shí)，P₂（

5

，0）；
③當(dāng)OP=OA時(shí)，
∴OD=PD=2，
∴P₃（4，0）．
∴使△AOP是等腰三角形的點(diǎn)為：P₁（

5

4

，0），P₂（

5

，0），P₃（4，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及函數(shù)圖象上的點(diǎn)與解析式的關(guān)系，圖象上的點(diǎn)一定滿足函數(shù)解析式．