Question

在△ABC中，已知D為直線BC上一點(diǎn)，若∠ABC=x°，∠BAD=y°．
（1）當(dāng)D為邊BC上一點(diǎn)，并且CD=CA，x=40，y=30時(shí)，則AB

=

 AC（填“=”或“≠”）；
（2）如果把（1）中的條件“CD=CA”變?yōu)椤癈D=AB”，且x，y的取值不變，那么（1）中的結(jié)論是否仍成立？若成立請(qǐng)寫出證明過程，若不成立請(qǐng)說明理由；
（3）若CD=CA=AB，請(qǐng)寫出y與x的關(guān)系式及x的取值范圍．（不寫解答過程，直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析：（1）求出∠ADC，求出∠DAC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠C，得出∠C=∠B，即可得出答案；
（2）在BC上截取BE=BA，連接AE，求出∠BAE=∠AEB=70°，求出AD=AE，證△ADB和△AEC全等，即可得出答案；
（3）分為三種情況：當(dāng)D在線段BC上時(shí)，y=90-

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x（0＜x≤60）（取等號(hào)時(shí)B、D重合）；
（ⅱ）當(dāng)D在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，y=

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2

x-90（60＜x＜90）（取等號(hào)時(shí)B、D重合）；
（ⅲ）當(dāng)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，y=180-

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2

x，（0＜x＜90）．

解答：（1）解：AB=AC，
理由是：∵∠ABC=40°，∠BAD=30°，
∴∠ADC=30°+40°=70°，
∵CD=CA，
∴∠CAD=∠ADC=70°，
∴∠C=180°-70°-70°=40°=∠ABC，
∴AB=AC，
故答案為：=．
（2）解：成立．
理由是：在BC上截取BE=BA，連接AE，
∵CD=AB，
∴BE=CD，
∴BE-DE=CD-DE，
即：BD=CE
∵∠B=40°，
∴∠BAE=∠BEA=70°，
在△ABD中，∠B=40°，∠BAD=30°
∴∠BDA=110°，∠ADE=70°，
∴∠ADE=∠BEA，∠AEC=110°
∴AD=AE，
在△ABD和△ACE中，

AD=AE ∠BDA=∠CEA BD=CE

，
∴△ABD≌△ACE，
∴AB=AC．                                    
                       
（3）解：（ⅰ）當(dāng)D在線段BC上時(shí)，y=90-

3

2

x（0＜x≤60）（取等號(hào)時(shí)B、D重合）；
（ⅱ）當(dāng)D在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，y=

3

2

x-90（60＜x＜90）（取等號(hào)時(shí)B、D重合）；
（ⅲ）當(dāng)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，y=180-

3

2

x，（0＜x＜90）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較典型，但是有一定的難度．