Question

某倉庫為了保持庫內的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施．該設施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等邊三角形，固定點E為AB的中點．MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿，△EMN是隨MN滑動而變化的三角通風窗（陰影部分均不通風）．
（1）當MN和AB之間的距離為0.5米時，求此時△EMN的面積．
（2）設MN與AB之間的距離為x米，試將△EMN的面積S（平方米）表示成關于x的函數．
（3）請你探究△EMN的面積S（平方米）有無最大值？若有，請求出這個最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當MN和AB之間的距離為0.5米時，MN位于DC下方，此時△EMN中MN邊上的高為0.5米，根據三角形的面積公式即可求出△EMN的面積；
（2）分兩種情況討論：①當0＜x≤1時，根據三角形的面積公式直接得出△EMN的面積S與x的函數解析式；②當1＜x＜1+時，連接EG，交CD于點F，交MN于點H，先求FG，再證△MNG∽△DCG，繼而得出△EMN的面積S與x的函數解析式；
（3）先分兩種情況討論：①當0＜x≤1時，S=x，根據一次函數的性質解答；②當1＜x＜1+時，S=-x²+（1+）x．由二次函數的性質可知，在對稱軸時取得最大值．再比較即可．
解答：解：（1）由題意，當MN和AB之間的距離為0.5米時，MN應位于DC下方，且此時△EMN中MN邊上的高為0.5米．
則S_△EMN=×2×0.5=0.5（平方米）．
即△EMN的面積為0.5平方米；

（2）分兩種情況：
①如圖1所示，當MN在矩形區(qū)域滑動，即0＜x≤1時，
△EMN的面積S=×2×x=x；
②如圖2所示，當MN在三角形區(qū)域滑動，即1＜x＜1+時，
如圖，連接EG，交CD于點F，交MN于點H，
∵E為AB中點，
∴F為CD中點，GF⊥CD，且FG=．
又∵MN∥CD，
∴△MNG∽△DCG，
=，
∴MN=
故△EMN的面積S=××x=-x²+（1+）x．
綜合可得：S=；

（3）分兩種情況：
①當MN在矩形區(qū)域滑動，即0＜x≤1時，S=x，
∵S隨x的增大而增大，
又∵0＜x≤1，
∴當x=1時，S有最大值1；
②當MN在三角形區(qū)域滑動，即1＜x＜1+時，S=-x²+（1+）x，
∴當x=-=時，S有最大值，此時最大值S==+．
∵+＞1，
∴S有最大值，最大值為（+）平方米．
點評：本題考查函數模型的建立與應用，主要涉及了三角形面積公式，分段函數求最值等解題方法．