Question

已知：如圖，點I是△ABC的內(nèi)心，AI交邊BC于點D，交△ABC外接圓于點E．
求證：
（1）IE=BE；        
（2）IE²=AE×DE．

Answer 1

分析：（1）利用內(nèi)心的性質(zhì)得出∠1=∠2，∠3=∠5，再利用外角性質(zhì)得出∠BIE=∠EBI，進(jìn)而求出即可；
（2）利用相似三角形的性質(zhì)與判定得出△BED∽△AEB，進(jìn)而求出BE²=AE•ED，即可得出答案．

解答： 證明：（1）連接BI、BE．
∵I為△ABC內(nèi)心，
∴∠1=∠2，∠3=∠5，
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠5，
∵∠BIE=∠2+∠5，
∠EBI=∠1+∠4，
∴∠BIE=∠EBI，
∴BE=IE；

（2）證明：∵∠BED=∠AEB，
∠4=∠5，
∴△BED∽△AEB，
∴

BE

AE

=

ED

EB

，即 BE²=AE•ED，
由①知BE=IE，
∴IE²=AE•ED．

點評：此題主要考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出△BED∽△AEB是解題關(guān)鍵．