Question

【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)圖形K1和K2，給出如下定義：點(diǎn)G為圖形K1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)H為K2圖形上任意一點(diǎn)，如果G，H兩點(diǎn)間的距離有最小值，則稱(chēng)這個(gè)最小值為圖形K1和K2的“近距離”。如圖1，已知△ABC，A（-1，-8），B（9,2），C（-1,2），邊長(zhǎng)為的正方形PQMN，對(duì)角線NQ平行于x軸或落在x軸上．

（1）填空：

①原點(diǎn)O與線段BC的“近距離”為 ；

②如圖1，正方形PQMN在△ABC內(nèi)，中心O’坐標(biāo)為（m，0），若正方形PQMN與△ABC的邊界的“近距離”為1，則m的取值范圍為 ；

（2）已知拋物線C：，且-1≤x≤9，若拋物線C與△ABC的“近距離”為1，求a的值；

（3）如圖2，已知點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且D（5，-2），將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0<α≤180），將旋轉(zhuǎn)中的△ABC記為△AB’C’，連接DB’，點(diǎn)E為DB’的中點(diǎn)，當(dāng)正方形PQMN中心O’坐標(biāo)為（5，-6），直接寫(xiě)出在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)形成的圖形與正方形PQMN的“近距離”．

Answer 1

【答案】（1）①2；②；（2）或；（3）點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)形成的圖形與正方形PQMN的“近距離”為．

【解析】

（1）①由垂線段最短，即可得到答案；

②根據(jù)題意，找出正方形PQMN與△ABC的邊界的“近距離”為1，的臨界點(diǎn)，然后分別求出m的最小值和最大值，即可得到m的取值范圍；

（2）根據(jù)題意，拋物線與△ABC的“近距離”為1時(shí)，可分為兩種情況：當(dāng)點(diǎn)C到拋物線的距離為1，即CD=1；當(dāng)拋物線與線段AB的距離為1時(shí)，即GH=1；分別求出a的值，即可得到答案；

（3）根據(jù)題意，取AB的中點(diǎn)F，連接EF，求出EF的長(zhǎng)度，然后根據(jù)題意，求出點(diǎn)F，點(diǎn)Q的坐標(biāo)，求出FQ的長(zhǎng)度，即可得到EQ的長(zhǎng)度，即可得到答案．

解：（1）①∵B（9，2），C（，2），

∴點(diǎn)B、C的縱坐標(biāo)相同，

∴線段BC∥x軸，

∴原點(diǎn)O到線段BC的最短距離為2；

即原點(diǎn)O與線段BC的“近距離”為2；

故答案為：2；

②∵A（-1，-8），B（9，2），C（-1，2），

∴線段BC∥x軸，線段AC∥y軸，

∴AC=BC=10，△ABC是等腰直角三角形，

當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)N與線段AC的最短距離為1，

則正方形PQMN與△ABC的邊界的“近距離”為1，

此時(shí)m為最小值，

∵正方形的邊長(zhǎng)為，

由勾股定理，得：，

∴，（舍去）；

當(dāng)點(diǎn)Q到線段AB的距離為1時(shí)，此時(shí)m為最大值，如圖：

∵QN=1，△QMN是等腰直角三角形，

∴QM=，

∵BD=9，△BDE是等腰直角三角形，

∴DE=9，

∵△OEM是等腰直角三角形，

∴OE=OM=7，

∴m的最大值為：，

∴m的取值范圍為：；

故答案為：；

（2）拋物線C：，且，若拋物線C與△ABC的“近距離”為1，

由題可知，點(diǎn)C與拋物線的距離為1時(shí)，如圖：

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，2），

∴但D的坐標(biāo)為（，3），

把點(diǎn)D代入中，有

，

解得：；

當(dāng)線段AB與拋物線的距離為1時(shí)，近距離為1，如圖：即GH=1，

點(diǎn)H在拋物線上，過(guò)點(diǎn)H作AB的平行線，線段AB與y軸相交于點(diǎn)F，作FE⊥EH，垂足為E，

∴EF=GH=1，

∵∠FDE=∠A=45°，

∴，

∵點(diǎn)A（-1，-8），B（9，2），設(shè)直線AB為，

∴，解得：，

∴直線AB的解析式為：，

∴直線EH的解析式為：；

∴聯(lián)合與，得

，

整理得：，

∵直線EH與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，

∴，

解得：；

綜合上述，a的值為：或；

（3）由題意，取AB的中點(diǎn)F，連接EF，如圖：

∵點(diǎn)A（-1，-8），B（9，2），

∴，

在中，F是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，

∴，

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，-2），A（-1，-8），

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，），

∵在正方形PNMQ中，中心點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，），

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（6，），

∴，

∴；

∴點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)形成的圖形與正方形PQMN的“近距離”為．