Question

如圖1，等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=DC=AD=4cm．∠ABC=60°．
（1）求梯形ABCD的面積；
（2）過B作直線EF⊥BC于B（如圖2），直線EF右點(diǎn)B開始，沿射線BC向右以1cm/s的速度運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，始終保持EF⊥BC，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，梯形ABCD在直線EF左側(cè)部分的面積為Scm²，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）過A作AE⊥BC于E，過D作DF⊥BC于F，得出四邊形AEFD是矩形，推出AD=EF，AE=DF，求出BE，AE，根據(jù)梯形面積公式求出即可．
（2）分為四種情況：：①當(dāng)0≤t≤2時，②當(dāng)2＜t≤6時，③當(dāng)6＜t＜8時，④當(dāng)t≥8時，根據(jù)梯形和三角形面積求出即可．

解答：解：（1）過A作AE⊥BC于E，過D作DF⊥BC于F，
則AE∥DF，∠AEB=∠DFC=90°，
∵AD∥BC，
∴四邊形AEFD是矩形，
∴AD=EF，AE=DF，
∵AB=DC，
∴在Rt△AEB和Rt△DFC中，由勾股定理得：BE=FC，
∵∠B=60°，
∴∠BAE=30°
∴BE=

1

2

AB=

1

2

×4cm=2cm，由勾股定理得：AE=2

3

cm，
∴CF=2cm，
∴BC=2+4+2=8（cm），
∴梯形ABCD的面積是

1

2

（AD+BC）×AE=

1

2

×（4cm+8cm）×2

3

cm=12

3

cm²．

（2）分為四種情況：
①當(dāng)0≤t≤2時，如圖2，BM=t
∵∠NMB=90°，∠B=60°，
∴MN=

3

t，
S=

1

2

•t•

3

t=

3

2

t²，
即S=

3

2

t²，自變量t的范圍是0≤t≤2；
②當(dāng)2＜t≤6時，如圖3，BM=t，
由（1）知：AN=t-2，MN=2

3

，
則S=

1

2

×（AN+BM）×MN
=

1

2

•（t-2+t）•2

3

，
即S=2

3

t-2

3

，自變量t的范圍是2＜t≤6；
③當(dāng)6＜t＜8時，如圖4，CM=8-t
∵四邊形ABCD是等腰梯形，∠B=60°，
∴∠C=∠B=60°，
∴MN=

3

CM=（8-t）

3

，
S=S_梯形ABCD-S_△CMN=12

3

-

1

2

（8-t）•

3

（8-t），
即S=-

3

2

t²+8

3

t-20

3

，自變量t的范圍是6＜t＜8；
④當(dāng)t≥8時，S=S_梯形ABCD=12

3

，
即S=12

3

，自變量t的范圍是t≥8．

點(diǎn)評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)，三角形的面積的應(yīng)用，題目綜合性比較強(qiáng)，用了分類討論思想．