Question

【題目】已知點D為 內部（包括邊界但非A、B、C）上的一點．

（1）若點D在邊AC上，如圖①，求證：AB + AC> BD + DC

（2）若點D在內，如圖②，求證：AB + AC> BD + DC

（3）若點D在內，連結DA、DB、DC，如圖③求證：(AB + BC + AC) < DA + DB + DC < AB + BC + AC

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)三角形的三邊關系和不等式的基本性質即可得出結論；

（2）延長BD交AC于E，根據(jù)三角形的三邊關系和不等式的基本性質即可得出結論；

（3）根據(jù)三角形的三邊關系和不等式的基本性質即可得出結論．

解：（1）∵ AB + AD>BD

∴ AB + AD +DC > BD +DC

∴ AB + AC>BD +DC

（2）延長BD交AC于E

∵ AB + AE > BD + DE①

DE +EC >DC ②

∴由①+②，得AB + AE+ DE +EC＞BD + DE+ DC

整理，得AB+AC>BD+DC

（3）∵ AD+BD>AB ①

BD+DC>BC ②

AD+DC>AC③

∴ 把① + ② +③ 得 AD+BD+BD+DC+ AD+DC＞AB＋BC＋AC

整理，得 AD+DB+DC>(AB+BC+AC)

又∵ 由上面（2）式得到：

DB+DA<AC+BC ①

DB+DC<AB+AC ②

DA+DC<AB+BC③

∴ 把① + ② +③ 得DB+DA+ DB+DC+ DA+DC＜AC+BC+ AB+AC+ AB+BC

整理得 DA+DB+DC<AB+BC+AC

∴(AB + BC + AC) < DA + DB + DC < AB + BC + AC