Question

如圖，在□ABCD中，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CD交AD于點(diǎn)E，將線(xiàn)段EC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段EF，點(diǎn)P為直線(xiàn)CD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合）．
（1）在圖1中畫(huà)圖探究：
當(dāng)點(diǎn)P在CD延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，連結(jié)EP并把EP繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段EQ．作直線(xiàn)QF交直線(xiàn)CD于H，求證：QF⊥CD．
（2）探究：結(jié)合（1）中的畫(huà)圖步驟，分析線(xiàn)段QH、PH與CE之間是否存在一種特定的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)?jiān)谙旅娴目崭裰袑?xiě)出你的結(jié)論；若存在，直接填寫(xiě)這個(gè)關(guān)系式．
①當(dāng)點(diǎn)P在CD延長(zhǎng)線(xiàn)上且位于H點(diǎn)右邊時(shí)，

QH-PH=2CE

；
②當(dāng)點(diǎn)P在邊CD上時(shí)，

QH+PH=2CE

．
（3）若AD=2AB=6，AE=1，連接DF，過(guò)P、F兩點(diǎn)作⊙M，使⊙M同時(shí)與直線(xiàn)CD、DF相切，求⊙M的半徑是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PE=QE，EF=ED，然后根據(jù)同角的余角相等求出∠PEC=∠QEF，再利用“邊角邊”證明△PEC和△QEF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠QFE=∠PCE，再求出EF∥CD，然后根據(jù)兩直線(xiàn)平行，同位角相等求出∠QHC=90°，從而得證；
（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得QF=PC，再證明得到四邊形EFHC是正方形，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)可得CH=FH=CE，然后分點(diǎn)P在CD延長(zhǎng)線(xiàn)上和邊CD上兩種情況饒了求解；
（3）求出DE的長(zhǎng)，再利用勾股定理列式求出EC，然后求出DH，再次利用勾股定理列式求出FD，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥FH于N，可得四邊形PMNH是矩形，設(shè)⊙M的半徑是r，然后分①點(diǎn)P在點(diǎn)D的右邊時(shí)，在Rt△MNF中，表示出FN、MN，利用勾股定理列出方程求解即可；②點(diǎn)P在點(diǎn)D的左邊時(shí)，在Rt△MNF中，表示出FN、MN，利用勾股定理列出方程求解即可．

解答：解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，PE=QE，EF=ED，
∵∠QEF+∠FEP=∠PEQ=90°，
∠PEC+∠FEP=∠CEF=90°，
∴∠PEC=∠QEF，
在△PEC和△QEF中，

PE=QE ∠PEC=∠QEF EF=ED

，
∴△PEC≌△QEF（SAS），
∴∠QFE=∠PCE=90°，
∵∠FEC+∠PCE=90°+90°=180°，
∴EF∥CD，
∴∠QHC=∠QFE=90°，
∴QF⊥CD；

（2）∵△PEC≌△QEF，
∴QF=PC，
∵∠PCE=∠CEF=∠QHC=90°，CE=EF，
∴四邊形EFHC是正方形，
∴CH=FH=CE，
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在CD延長(zhǎng)線(xiàn)上且位于H點(diǎn)右邊時(shí)，QH=QF+FH=PC+FH=PH+CH+FH=PH+2CE，
∴QH-PH=2CE；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在邊CD上時(shí)，QH=QF+FH=PC+FH=CH-PH+FH=2CE-PH，
∴QF+PH=2CE；

（3）∵AD=6，AE=1，
∴DE=5，
在Rt△CDE中，CE=

DE2-CD2

=

52-32

=4，
∴DH=CH-CD=CE-CD=4-3=1，
在Rt△DFH中，F(xiàn)D=

FH2+DH2

=

42+12

=

17

，
如圖，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥FH于N，
則四邊形PMNH是矩形，
∵⊙M同時(shí)與直線(xiàn)CD、DF相切，
∴DP=FD=

17

，
設(shè)⊙M的半徑是r，
①點(diǎn)P在點(diǎn)D的右邊時(shí)，在Rt△MNF中，F(xiàn)N=4-r，MN=

17

-1，
由勾股定理得，F(xiàn)N²+MN²=MF²，
即（4-r）²+（

17

-1）²=r²，
解得r=

17- 17

4

，
②點(diǎn)P在點(diǎn)D的左邊時(shí)，在Rt△MNF中，F(xiàn)N=r-4，MN=

17

+1，
由勾股定理得，F(xiàn)N²+MN²=MF²，
即（r-4）²+（

17

+1）²=r²，
解得r=

17+ 17

4

，
綜上所述，⊙M的半徑是

17- 17

4

或

17+ 17

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，切線(xiàn)長(zhǎng)定理，（3）難點(diǎn)在于作輔助線(xiàn)構(gòu)造出全等三角形和矩形．