Question

如圖，以A為頂點(diǎn)的拋物線與y軸交于點(diǎn)B、已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)M（m，n）是拋物線上的一點(diǎn)（m、n為正整數(shù)），且它位于對(duì)稱軸的右側(cè)．若以M、B、O、A為頂點(diǎn)的四邊形四條邊的長(zhǎng)度是四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，試問：對(duì)于拋物線對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)P，PA²+PB²+PM²＞28是否總成立？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，然后將B點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可；
（2）由于M在拋物線的圖象上，根據(jù)（1）所得拋物線的解析式即可得到關(guān)于m、n的關(guān)系式：n=

4

9

（m-3）²，由于m、n同為正整數(shù)，因此m-3應(yīng)該是3的倍數(shù)，即m應(yīng)該取3的倍數(shù)，可據(jù)此求出m、n的值，再根據(jù)“以M、B、O、A為頂點(diǎn)的四邊形四條邊的長(zhǎng)度是四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)”將不合題意的解舍去，即可得到M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分別表示出PA²、PB²、PM²的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出關(guān)于PA²+PB²+PM²與P點(diǎn)縱坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出PA²+PB²+PM²的最大（�。┲担�進(jìn)而可判斷出所求的結(jié)論是否恒成立．

解答：解：（1）設(shè)y=a（x-3）²，
把B（0，4）代入，
得a=

4

9

，
∴y=

4

9

（x-3）²；

（2）解法一：
∵四邊形OAMB的四邊長(zhǎng)是四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，其中有3、4，
∴可能的情況有三種：1、2、3、4；2、3、4、5；3、4、5、6，
∵M(jìn)點(diǎn)位于對(duì)稱軸右側(cè)，且m，n為正整數(shù)，
∴m是大于或等于4的正整數(shù)，
∴MB≥4，
∵AO=3，OB=4，
∴MB只有兩種可能，∴MB=5或MB=6，
當(dāng)m=4時(shí)，n=

4

9

（4-3）²=

4

9

（不是整數(shù)，舍去）；
當(dāng)m=5時(shí)，n=

16

9

（不是整數(shù)，舍去）；
當(dāng)m=6時(shí)，n=4，MB=6；
當(dāng)m≥7時(shí)，MB＞6；
因此，只有一種可能，即當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（6，4）時(shí)，MB=6，MA=5，
四邊形OAMB的四條邊長(zhǎng)分別為3、4、5、6．
解法二：
∵m，n為正整數(shù)，n=

4

9

（m-3）²，
∴（m-3）²應(yīng)該是9的倍數(shù)，
∴m是3的倍數(shù)，
又∵m＞3，
∴m=6，9，12，
當(dāng)m=6時(shí)，n=4，
此時(shí)，MA=5，MB=6，
∴當(dāng)m≥9時(shí)，MB＞6，
∴四邊形OAMB的四邊長(zhǎng)不能是四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)只有一種可能（6，4）．

（3）設(shè)P（3，t），MB與對(duì)稱軸交點(diǎn)為D，
則PA=|t|，PD=|4-t|，PM²=PB²=（4-t）²+9，
∴PA²+PB²+PM²=t²+2[（4-t）²+9]
=3t²-16t+50
=3（t-

8

3

）²+

86

3

，
∴當(dāng)t=

8

3

時(shí)，PA²+PB²+PM²有最小值

86

3

；
∴PA²+PB²+PM²＞28總是成立．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定以及二次函數(shù)最值的應(yīng)用，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．