Question

已知關(guān)于x的方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0．
（1）若這個方程有實數(shù)根，求k的取值范圍；
（2）若這個方程有一個根為1，求k的值；
（3）若以方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的兩個根為橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的點恰在反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象上，求滿足條件的m的最小值．

Answer 1

分析：（1）若一元二次方程有實數(shù)根，則根的判別式△=b²-4ac≥0，建立關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍．
（2）將x=1代入方程，得到關(guān)于k的方程，求出即可，
（3）寫出兩根之積，兩根之積等于m，進(jìn)而求出m的最小值．

解答：解：（1）由題意得△=[-2（k-3）]²-4×（k²-4k-1）≥0
化簡得-2k+10≥0，解得k≤5．
（2）將1代入方程，整理得k²-6k+6=0，解這個方程得k1=3-

3

，k2=3+

3

．
（3）設(shè)方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的兩個根為x₁，x₂，
根據(jù)題意得m=x₁x₂．又由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得x₁x₂=k²-4k-1，
那么m=k²-4k-1=（k-2）²-5，所以，當(dāng)k=2時m取得最小值-5．

點評：一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，是一個綜合性的題目，也是一個難度中等的題目．總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．