Question

（2013•義烏市）已知直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點(diǎn)B，PD交⊙O于點(diǎn)C、D，PE是⊙O的切線，E為切點(diǎn)，連結(jié)AE，交CD于點(diǎn)F．
（1）若⊙O的半徑為8，求CD的長；
（2）證明：PE=PF；
（3）若PF=13，sinA=

5

13

，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）首先連接OD，由直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點(diǎn)B，⊙O的半徑為8，可求得OB的長，又由勾股定理，可求得BD的長，然后由垂徑定理，求得CD的長；
（2）由PE是⊙O的切線，易證得∠PEF=90°-∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°-∠A，繼而可證得∠PEF=∠PFE，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)，可得PE=PF；
（3）首先過點(diǎn)P作PG⊥EF于點(diǎn)G，易得∠FPG=∠A，即可得FG=PF•sinA=13×

5

13

=5，又由等腰三角形的性質(zhì)，求得答案．

解答：解：（1）連接OD，
∵直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點(diǎn)B，⊙O的半徑為8，
∴OB=

1

2

OA=4，BC=BD=

1

2

CD，
∴在Rt△OBD中，BD=

OD2-OB2

=4

3

，
∴CD=2BD=8

3

；

（2）∵PE是⊙O的切線，
∴∠PEO=90°，
∴∠PEF=90°-∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°-∠A，
∵OE=OA，
∴∠A=∠AEO，
∴∠PEF=∠PFE，
∴PE=PF；

（3）過點(diǎn)P作PG⊥EF于點(diǎn)G，
∴∠PGF=∠ABF=90°，
∵∠PFG=∠AFB，
∴∠FPG=∠A，
∴FG=PF•sinA=13×

5

13

=5，
∵PE=PF，
∴EF=2FG=10．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．