Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，頂點B的坐標為（2m，m），翻折矩形OABC，使點A與點C重合，得到折痕DE，設點B的對應點為F，折痕DE所在直線與y軸相交于點G，經(jīng)過點C，F(xiàn)，D的拋物線為y=ax2+bx+c．

（1）求點D的坐標（用含m的式子表示）；
（2）若點G的坐標為（0，﹣3），求該拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，設線段CD的中點為M，在線段CD上方的拋物線上是否存在點P，使PM=EA？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根據(jù)折疊的性質(zhì)得：CF=AB=m，DF=DB，∠DFC=∠DBA=90°，CE=AE，∠CED=∠AED，

設CD=x，則DF=DB=2m﹣x，

根據(jù)勾股定理得：CF2+DF2=CD2，

即m2+（2m﹣x）2=x2，

解得：x=m，

∴點D的坐標為：（m，m）；

（2）

解：∵四邊形OABC是矩形，

∴OA=2m，OA∥BC，

∴∠CDE=∠AED，

∴∠CDE=∠CED，

∴CE=CD=m，

∴AE=CE=m，

∴OE=OA﹣AE=m，

∵OA∥BC，

∴△OEG∽△CDG，

∴，

即，

解得：m=2，

∴C（0，2），D（，2），

作FH⊥CD于H，如圖1所示：

則∠FHC=90°=∠DFC，

∵∠FCH=∠FCD，

∴△FCH∽△DCF，

∴==，

即，

∴FH=，CH=，+2=，

∴F（，），

把點C（0，2），D（，2），F(xiàn)（，）代入y=ax2+bx+c得：

，

解得：a=，b=，c=2，

∴拋物線的解析式為：y=x2+x+2；

（3）

解：存在；點P的坐標為：（，），或（，）；理由如下：

如圖2所示：

∵CD=CE，CE=EA，

∴CD=EA，

∵線段CD的中點為M，∠DFC=90°，

∴MF=CD=EA，點P與點F重合，

∴點P的坐標為：（，）；

由拋物線的對稱性得另一點P的坐標為（，）；

∴在線段CD上方的拋物線上存在點P，使PM=EA，點P的坐標為：（，），或（，）．

【解析】（1）由折疊的性質(zhì)得出CF=AB=m，DF=DB，∠DFC=∠DBA=90°，CE=AE，設CD=x，則DF=DB=2m﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可得出結果；
（2）證明△OEG∽△CDG，得出比例式，求出m的值，得出C、D的坐標，作FH⊥CD于H，證明△FCH∽△DCF，得出比例式求出F的坐標，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（3）由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出MF=CD=EA，點P與點F重合，得出點P的坐標；由拋物線的對稱性得另一點P的坐標即可．