Question

如圖，對稱軸為直線x=的拋物線經(jīng)過點A（6，0）和B（0，4）．

（1）求拋物線解析式及頂點坐標；
（2）設(shè)點E（x，y）是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對角線的平行四邊形，求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上試探索：
①當平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？
②是否存在點E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）因為拋物線的對稱軸是x=，
設(shè)解析式為y=a（x﹣）²+k．
把A，B兩點坐標代入上式，得，
解得a=，k=﹣．
故拋物線解析式為y=（x﹣）²﹣，頂點為（，﹣）；
（2）∵點E（x，y）在拋物線上，位于第四象限，且坐標適合y=（x﹣）²=，
∴y＜0，即﹣y＞0，﹣y表示點E到OA的距離．
∵OA是OEAF的對角線，
∴S=2S_△OAE=2××OA·|y|=﹣6y=﹣4（x﹣）²+25．
∵拋物線與x軸的兩個交點是（1，0）和（6，0），
∴自變量x的取值范圍是1＜x＜6；
（3）①根據(jù)題意，當S=24時，即﹣4（x﹣）²+25=24．
化簡，得（x﹣）²=．
解得x₁=3，x₂=4．
故所求的點E有兩個，
分別為E₁（3，﹣4），E₂（4，﹣4），
點E₁（3，﹣4）滿足OE=AE，
所以平行四邊形OEAF是菱形；
點E₂（4，﹣4）不滿足OE=AE，
所以平行四邊形OEAF不是菱形；
②當OA⊥EF，且OA=EF時，
平行四邊形OEAF是正方形，
此時點E的坐標只能是（3，﹣3），
而坐標為（3，﹣3）的點不在拋物線上，
故不存在這樣的點E，使平行四邊形OEAF為正方形．