Question

操作探究自我操作：如圖1所示，點(diǎn)O為線段MN的中點(diǎn)，直線PQ與MN相交于點(diǎn)O，利用此圖，作一對(duì)以點(diǎn)O為對(duì)稱中心的全等△MOA和△NOB，并使A、B兩點(diǎn)都在直線PQ上．（只保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

（1）探究1：如圖2所示，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∠BAE=∠EAF，AF與DC相交于點(diǎn)F，試探究線段AB與AF，CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）探究2：如圖3所示，DE，BC相交于點(diǎn)E，BA交DE于點(diǎn)A，且BE：EC=1：2，∠BAE=∠EDF，CF∥AB．試探究線段AB與DF，CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（3）發(fā)現(xiàn)：如圖3所示，DE，BC相交于點(diǎn)E，BA交DE于點(diǎn)A，且BE：EC=1：n，∠BAE=∠EDF，CF∥AB．則線段AB與DF，CF之間的等量關(guān)系為

 

．

Answer 1

分析：（1）以點(diǎn)O為圓心以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓分別交OP于點(diǎn)A，交OQ于點(diǎn)B，連接MA，NB即可；
（2）延長(zhǎng)AE、DF相交于點(diǎn)M，根據(jù)AB∥CD，求證△AEB≌△CEM，可得AB=CM，再根據(jù)∠BAE=∠EAF，求證MF=AF即可；
（3）分別延長(zhǎng)DE，CF交于點(diǎn)G，根據(jù)CF∥AB，求證△ABE≌△GCE，得出

AB

CG

=

BE

CE

，進(jìn)而求得CG=2AB，再根據(jù)∠BAE=∠EDF，求證FG=DF即可．

解答：解：操作探究自我操作，如圖1：

（1）如圖2，AB=AF-CF．
延長(zhǎng)AE、DF相交于點(diǎn)M，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠M，∠B=ECM，
又∵BE=CE，
∴△AEB≌△CEM，
∴AB=CM，
又∵∠BAE=∠EAF，
∴∠M=∠EAF，
∴MF=AF，
∴AB=CM=FM-CF=AF-CF．

（2）如圖3，分別延長(zhǎng)DE，CF交于點(diǎn)G，
∵CF∥AB，
∴∠B=∠C，∠BAE=∠G，
∴△ABE∽△GCE，
∴

AB

CG

=

BE

CE

，
又∵

BE

CE

=

1

2

，
∴

AB

CG

=

1

2

，即CG=2AB，
又∵∠BAE=∠EDF，
∴∠G=∠EDF，
∴FG=DF，
∴2AB=GC=FG+CF=DF+CF；

（3）發(fā)現(xiàn)：nAB=DF+CF．
故答案為：nAB=DF+CF．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是作好輔助線，利用全等三角形判定定理求證三角形全等．