Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，AC是對(duì)角線，AB=4cm，BC=3cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻

逨運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AD于點(diǎn)M，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）

（0＜t＜4）．解答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQAM是矩形？

（2）是否存在某一時(shí)刻t，使S四邊形PQAM=S矩形ABCD？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△ABC相似？

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)t為2時(shí)，四邊形PQAM是矩形．

（2）存在t=2，使S四邊形PQAM=S矩形ABCD．

（3）當(dāng)t=2或1時(shí)，△APQ與△ABC相似．

【解析】

試題分析：（1）首先根據(jù)四邊形ABCD是矩形，求出AC的長(zhǎng)度是多少；然后根據(jù)相似三角形判定的方法，判斷出△APQ∽△ACB，即可推得，據(jù)此求出t的值是多少即可．

（2）存在t=2，使S四邊形PQAM=S矩形ABCD．首先根據(jù)四邊形ABCD是矩形，求出S矩形ABCD的值是多少；然后分別求出△APM、△APQ的面積各是多少，再根據(jù)S四邊形PQAM=S矩形ABCD，求出t的值是多少即可．

（3）當(dāng)t=2或1時(shí)，△APQ與△ABC相似．根據(jù)題意，分兩種情況討論：①當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，△APQ與△ABC相似；②當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，△APQ與△ABC相似；求出當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△ABC相似即可．

解：（1）如圖1，，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC===5，

∵四邊形PQAM是矩形，

∴PQ⊥AB，

又∵CB⊥AB，

∴PQ∥CB，

∴△APQ∽△ACB，

∴，

即，

解得t=2，

∴當(dāng)t為2時(shí)，四邊形PQAM是矩形．

（2）存在t=2，使S四邊形PQAM=S矩形ABCD．

如圖2，，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴S矩形ABCD=ABBC=4×3=12，

∵PM⊥AD，CD⊥AD，

∴PM∥CD，

∴△APM∽△ACD，

∴，

即，

解得AM=，PM=t，

∴S△APM=AMPM=×=t2．

∵sin∠PAQ==，

∴S△APQ=APAQsin∠PAQ=t（4﹣t）×=t（4﹣t），

∵S四邊形PQAM=S矩形ABCD，

∴t2+t（4﹣t）=×，

整理，可得

t2﹣20t+36=0

解得t=2或t=18（舍去），

∴存在t=2，使S四邊形PQAM=S矩形ABCD．

（3）當(dāng)t=2或1時(shí)，△APQ與△ABC相似．

①由（1），可得

當(dāng)t=2時(shí)，∠AQP=90°，PQ∥CB，△APQ與△ABC相似．

②如圖3，，

當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，△APQ與△ABC相似，

∵tan∠PAQ==，

∴，

即，

∴PQ=t，

∵BQ=t，

∴AQ=4﹣t，

在Rt△APQ中，

∵AP2+PQ2=AQ2，

∴，

解得t=1或t=﹣16（舍去）．

綜上，可得

當(dāng)t=2或1時(shí)，△APQ與△ABC相似．