Question

點(diǎn)D是⊙O的直徑CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)B在⊙O上，BD是⊙O的切線，且AB=AD．
（1）求證：點(diǎn)A是DO的中點(diǎn)．
（2）若點(diǎn)E是劣弧BC上一點(diǎn)，AE與BC相交于點(diǎn)F，且△BEF的面積為8，cos∠BFA=

2

3

，求△ACF的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OB，利用切線的性質(zhì)和已知條件證明AO=AD即可；
（2）同弧所對(duì)的圓周角相等，可證明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面積比等于相似比的平方即可求解．

解答：證明：（1）連接OB，∵BD是⊙O的切線，
∴∠OBD=90°，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∴∠AOB=∠ABO，
∴AB=AO，
∴AO=AD，
∴點(diǎn)A是DO的中點(diǎn)；
（2）∵AC是直徑，
∴∠ABF=90°，
cos∠BFA=

FB

FA

=

2

3

，
∵∠E=∠C，∠FAC=∠FBE，
∴△FAC∽△FBE，
∴

S△BEF

SACF

=

4

9

，
∵△BEF的面積為8，
∴△FAC的面積為18．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓的切線的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)等內(nèi)容，是一個(gè)綜合較強(qiáng)的題目，難度中等．