Question

【題目】教材呈現：下圖是華師版九年級上冊數學教材第77頁的部分內容.

猜想

如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB與AC的中點，根據畫出的圖形，可以猜想：

DE∥BC，且DE＝BC．

對此，我們可以用演繹推理給出證明

證明在△ABC中，

∵點D、E分別是AB與AC的中點，

∴請根據教材提示，結合圖①，寫出完整證明過程，

結論應用：

如圖②在四邊形ABCD中，AD＝BC，點P是對角線BD的中點，M是DC中點，N是AB中點，MN與BD相交于點Q．

（1）求證：∠PMN＝∠PNM；

（2）若AD＝BC＝4，∠ADB＝90°，∠DBC＝30°，則PQ＝　 　．

Answer 1

【答案】教材呈現：證明見解析；結論應用：（1）證明見解析；（2）．

【解析】

教材呈現：先判斷出△ADE∽△ABC，即可得出緒論；

結論應用：（1）根據教材呈現中的續(xù)簽，得出PM＝BC，PN＝AD，再利用BC＝AD，即可得出緒論；

（2）先根據（1）的結論判斷出∠MPN＝120°，進而求得∠PMN＝∠PNM＝30°，∠EPQ＝30°，再利用三角函數求解即可得出結論.

教材呈現：

在△ABC中，

∵點D、E分別是AB與AC的中點，

∴，

∵∠A＝∠A，

∴△ADE∽△ABC，

∴DE∥BC，，

即：DE∥BC，DE＝BC，

結論應用：

（1）證明：∵點P，M分別是BD，DC的中點，

∴PM＝BC，

∵點P，N分別是BD，AB的中點，

∴PN＝AD，

∵BC＝AD，

∴PM＝PN，

∴∠PMN＝∠PNM；

（2）解：

∵點P，M分別是BD，DC的中點，

∴PM∥BC，

∴∠DPM＝∠DBC＝30°

∵點P，N分別是BD，AB的中點，

∴PN∥AD，

∴PN＝AD＝2，∠DPN＝180°﹣∠ADB＝90°，

∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝120°，

由（1）知，∠PMN＝∠PNM，

∴∠PMN＝∠PNM＝30°，

過點P作PE⊥MN于E，如圖：

∴∠NPE＝90°﹣∠PNM＝60°，

∴∠EPQ＝∠DPN﹣∠NPE＝30°，

在中，∴∠PNE＝30°，PN＝2，

∴PE＝PN＝1，

在中，，

故答案為：．