Question

【題目】如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，.點(diǎn)為軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于軸的直線分別交直線及拋物線于點(diǎn)，.

（1）填空：點(diǎn)的坐標(biāo)為_________，拋物線的解析式為_________；

（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動時（不與點(diǎn)，重合），

①當(dāng)為何值時，線段最大值，并求出的最大值；

②求出使為直角三角形時的值；

（3）若拋物線上有且只有三個點(diǎn)到直線的距離是，請直接寫出此時由點(diǎn)，，，構(gòu)成的四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（1），；

（2）①當(dāng)時，有最大值是3； ②使為直角三角形時的值為3或；

（3）點(diǎn)，，，構(gòu)成的四邊形的面積為：6或或.

【解析】

（1）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入直線表達(dá)式y＝，求出a＝3，把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

（2）①設(shè)：點(diǎn)P（m，），N（m，）求出PN值的表達(dá)式，即可求解；②分∠BNP＝90°、∠NBP＝90°、∠BPN＝90°三種情況，求解即可；

（3）若拋物線上有且只有三個點(diǎn)N到直線AB的距離是h，則只能出現(xiàn)：在AB直線下方拋物線與過點(diǎn)N的直線與拋物線有一個交點(diǎn)N，在直線AB上方的交點(diǎn)有兩個，分別求解即可．

解：（1）把點(diǎn)坐標(biāo)代入直線表達(dá)式，

解得：，則：直線表達(dá)式為：，令，則：，

則點(diǎn)坐標(biāo)為，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，

把點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，

解得：，

故：拋物線的解析式為：，

故：答案為：，；

（2）①∵在線段上，且軸，

∴點(diǎn)，，

∴，

∵，

∴拋物線開口向下，

∴當(dāng)時，有最大值是3，

②當(dāng)時，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-3，

把代入拋物線的表達(dá)式得：，解得：或0（舍去），

∴；

當(dāng)時，∵，兩直線垂直，其值相乘為-1，

設(shè)：直線的表達(dá)式為：，

把點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式，解得：，則：直線的表達(dá)式為：，

將上式與拋物線的表達(dá)式聯(lián)立并解得：或0（舍去），

當(dāng)時，不合題意舍去，

故：使為直角三角形時的值為3或；

（3）∵，，

在中，，則：，，

∵軸，

∴，

若拋物線上有且只有三個點(diǎn)到直線的距離是，

則只能出現(xiàn)：在直線下方拋物線與過點(diǎn)的直線與拋物線有一個交點(diǎn)，在直線上方的交點(diǎn)有兩個.

當(dāng)過點(diǎn)的直線與拋物線有一個交點(diǎn)，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)：點(diǎn)坐標(biāo)為：，

則：，過點(diǎn)作的平行線，

則點(diǎn)所在的直線表達(dá)式為：，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，

解得：過點(diǎn)直線表達(dá)式為：，

將拋物線的表達(dá)式與上式聯(lián)立并整理得：，

，

將代入上式并整理得：，

解得：，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則：點(diǎn)坐標(biāo)為，則：，

∵，，∴四邊形為平行四邊形，則點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到直線的距離，

即：過點(diǎn)與平行的直線與拋物線的交點(diǎn)為另外兩個點(diǎn)，即：、，

直線的表達(dá)式為：，將該表達(dá)式與二次函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立并整理得：

，解得：，

則點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為，，

作交直線于點(diǎn)，

則，

作軸，交軸于點(diǎn)，則：，，

，

則：，

同理：，

故：點(diǎn)，，，構(gòu)成的四邊形的面積為：6或或.