Question

已知關(guān)于x的方程x²-7x+k=0（*）．
（1）請(qǐng)你選擇一個(gè)合適的整數(shù)k，使得到的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，并說明它的正確性．
（2）如果方程（*）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂的值恰好是一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長且滿足x12x22-x12-x22-2x1x2=95，求該菱形的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)根的判別式的意義得到當(dāng)△=49-4k≥0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，解不等式得到k的取值范圍，然后在此范圍內(nèi)取一整數(shù)即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=7，x₁x₂=k（k＞0），再變形得到x12x22-x12-x22-2x1x2=（x₁x₂）²-（x₁+x₂）²，則k²-7²=95，解得k₁=12，k₂=-12，根據(jù)題意得到k=12，然后根據(jù)菱形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意當(dāng)△=49-4k≥0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
解得k≤

49

4

，
所以k取整數(shù)0時(shí)滿足條件；

（2）根據(jù)題意得x₁+x₂=7，x₁x₂=k（k＞0）．
∵x12x22-x12-x22-2x1x2=（x₁x₂）²-（x₁+x₂）²，
∴k²-7²=95，
解得k₁=12，k₂=-12，
∵k≤

49

4

，且k＞0，
∴k=12，
∴菱形的面積=

1

2

x₁x₂=

1

2

×12=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程的根的判別式和菱形的性質(zhì)．