Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O與點(diǎn)M（-4，0），頂點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為4，以線(xiàn)段OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C為一個(gè)頂點(diǎn)，構(gòu)造矩形ABCD，使邊CD在線(xiàn)段OM上，點(diǎn)D在點(diǎn)C的左側(cè)，點(diǎn)A、B在拋物線(xiàn)上
（1）連接MN、ON，求△MON的面積；
（2）求拋物線(xiàn)的解析式；
（3）探究：當(dāng)拖動(dòng)點(diǎn)C時(shí)，矩形ABCD的形狀會(huì)發(fā)生變化
①當(dāng)矩形ABCD為正方形時(shí)，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
②設(shè)矩形ABCD的周長(zhǎng)為l，請(qǐng)問(wèn)l是否存在一個(gè)最大值？如果存在，求出這個(gè)最大值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-4，0）
∴OM=4
作NE⊥y軸于點(diǎn)E，又頂點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為4
∴NE=4
∴S_△MON=MO•NE=×4×4=8（平方單位）

（2）拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為4，
且又經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O與點(diǎn)M（-4，0），
所以頂點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-2，4）
所以可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x+2）²+4
∵拋物線(xiàn)y=a（x+2）²+4過(guò)原點(diǎn)（0，0），
∴0=a（0+2）²+4
∴a=-1
拋物線(xiàn)的解析式為y=-（x+2）²+4即y=-x²-4x

（3）①設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，0），
因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線(xiàn)y=-x²-4x上，
所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，-x²-4x）
D的坐標(biāo)為（x，0），
所以O(shè)D=|X|=-X，MD=OC=4+x
∴CD=OM-MD-OC=-4-2x
∴AD=-x²-4x
當(dāng)矩形ABCD為正方形時(shí)有CD=AD
所以有-4-2x=x²-4x即x²+2x-4=0
解得x₁=-1-，x₂=-1+
-1+＞0時(shí)，點(diǎn)D不在OM上，不符合舍去．
所以x=-1-，
所以-x²-4x=-2+2
當(dāng)矩形ABCD為正方形時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1-，-2+2）
②存在
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，0）則由①知：
CD=-4-2x，AD=-X²-4X
則l=2（-4-2x）+2（-x²-4x）=-2x²-12x-8=-2（x+3）²+10
所以當(dāng)x=-3時(shí)l存在最大值，最大值為10
分析：（1）通過(guò)坐標(biāo)得到線(xiàn)段的長(zhǎng)再求面積．
（2）利用頂點(diǎn)式求拋物線(xiàn)的解析式．
（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)表示矩形ABCD的邊長(zhǎng)，再通過(guò)幾何性質(zhì)建立等量關(guān)系．求最大值問(wèn)題通過(guò)配成頂點(diǎn)式解決．
點(diǎn)評(píng)：求拋物線(xiàn)的解析式用待定系數(shù)法，此題設(shè)頂點(diǎn)式．對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題一般設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)表示其它點(diǎn)的坐標(biāo)和線(xiàn)段長(zhǎng)，通過(guò)應(yīng)用方程的思想求未知數(shù)．求最大值問(wèn)題利用拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)式完成．