Question

（1）等腰△ABC的直角邊AB=BC=10cm，點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，均以1cm/秒的相同速度作直線運動，已知P沿射線AB運動，Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D，過P作PE⊥AC于點E．設(shè)P點運動時間為t．
①當(dāng)點P在線段AB上運動時，線段DE的長度是否改變？若不改變，求出DE的值；若改變，請說明理由．
下面給出一種解題的思路，你可以按這一思路解題，也可以選擇另外的方法解題．
解：過Q作QF⊥直線AC于點M
∵PE⊥AC于點E，QF⊥直線AC于點M
∴∠AEP=∠F=90°
（下面請你完成余下的解題過程）
②當(dāng)點P在線段AB的延長線上運動時，（1）中的結(jié)論是否還成立？請在圖2畫出圖形并說明理由．
（2）若將（1）中的“腰長為10cm的等腰直角△ABC”改為“邊長為a的等邊△ABC”時（其余條件不變），則線段DE的長度又如何？（直接寫出答案，不需要解題過程）
（3）若將（2）中的“等邊△ABC”改為“△ABC”（其余條件不變），請你做出猜想：當(dāng)△ABC滿足______條件時，（2）中的結(jié)論仍然成立．（直接寫出答案，不需要解題過程）

Answer 1

【答案】分析：（1）①求出AC的值，過Q作QF⊥AC交AC的延長線于F，根據(jù)AP=CQ=t和等腰直角三角形求出AE=PE=QF=CF，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出DE=DF，即可求出答案；②根據(jù)AAS證△APE和△CFQ全等，推出CF=AE，推出AC=EF即可；
（2）與①證法類似求出DE=DF，AE=CF=EF，推出EF=AC，代入求出即可；
（3）根據(jù)①的結(jié)論求出只要∠A=∠ACB時，就能推出AE=CF，即可求出答案．
解答：解：（1）①線段DE的長度不變，
由勾股定理得：AC==10，
過Q作QF⊥AC交AC的延長線于F，
∵∠QCF=∠ACB=∠A=∠EPA=45°，AP=CQ=t，
∴AE=PE=QF=CF，
∵QF⊥AC，PE⊥AC，
∴QF∥PE，
∴=，
∴DE=DF=EF=（EC+CF）=（EC+AE）=AC=5．
②成立，
理由是：在△AEP和△CFQ中
，
∴△AEP≌△CFQ，
∴AE=CF，
∴AC=AE+CE=CF+CE=EF，
由①知：DE=DF=EF，
∴DE=AC，
∴成立．

（2）與①證法類似：知DE=DF，EF=AC，
∴DE=a．

（3）當(dāng)∠A=∠ACB時，
∵∠DCF=∠ACB=∠A，
在△AEP和△CFQ中
，
∴△AEP≌△CFQ，
∴AE=CF，
∴AE+EC=CF+EC，
即AC=EF，
由①知ED=DF，
∴DE=AC，
∴故答案為：∠A=∠ACB．
點評：本題考查了等邊三角形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線分線段成比例定理等知識點的運用，主要考查學(xué)生運用性質(zhì)進(jìn)行推理，能根據(jù)證明過程得出證題規(guī)律和結(jié)果規(guī)律是解此題的關(guān)鍵，只要掌握證①的規(guī)律，此題就能迎刃而解．