Question

已知正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于O，點(diǎn)O是正方形EFGO的一個(gè)頂點(diǎn)，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2．
（1）當(dāng)OE∥AD、OG∥AB時(shí)，如圖1，求圖中兩個(gè)正方形重疊部分的面積．
（2）若正方形EFGO饒點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，如圖2，兩個(gè)正方形重疊部分的面積是否發(fā)生變化？試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）欲求圖中兩個(gè)正方形重疊部分的面積，先證明其為正方形且邊長(zhǎng)為1，根據(jù)正方形性質(zhì)易證；
（2）不管如何旋轉(zhuǎn)，其面積不變，根據(jù)三角形全等容易證出．

解答：解：（1）設(shè)OE交AB于M，OG交BC于N，
正方形ABCD中，∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，
∵OE∥AD、OG∥AB，
∴∠OMB=90°，∠ONB=90°，
∴四邊形MONB是矩形，
∵正方形ABCD中，O為AC中點(diǎn)，AD=AB=2，OE∥AD，OG∥AB，
∴OM=

1

2

AD=1，ON=

1

2

AB=1，
∴四邊形MONB是正方形，
∴S_{四邊形MONB}=1．

（2）不變．
證明：∵正方形ABCD中，∠BOC=90°，
正方形EFGO中，∠EOG=90°，
∴∠1=∠2，
∵正方形ABCD中，∠3=∠4=45°，OB=OC，
∴△OBM≌△OCN（ASA），
∴S_△OBM=S_△OCN，∴S_□MONB=S_△OBC，
∵正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，
∴S_△OBC=1，
∴S_□MONB=1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)及正方形性質(zhì)的綜合運(yùn)用．