Question

若正整數(shù)a、b、c滿足方程a²+b²=c²，則稱這一組正整數(shù)（a、b、c）為“商高數(shù)”，
下面列舉五組“商高數(shù)”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），
注意這五組“商高數(shù)”的結(jié)構(gòu)有如下規(guī)律：

4=2×2×1 3=22-12 5=22+12

，

12=2×3×2 5=32-22 13=32+22

，

6=2×3×1 8=32-12 10=32+12

，

24=2×4×3 7=42-32 25=42+32

，

16=2×4×2 12=42-22 20=42+22

根據(jù)以上規(guī)律，回答以下問題：
（1）商高數(shù)的三個數(shù)中，有幾個偶數(shù)，幾個奇數(shù)？
（2）寫出各數(shù)都大于30的兩組商高數(shù)；
（3）用兩個正整數(shù)m、n（m＞n）表示一組商高數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)的定義解答；
（2）根據(jù)a=2mn，b=m²-n²，c=m²+n²找出符合條件的兩組數(shù)據(jù)；
（3）根據(jù)勾股定理證明這一組數(shù)據(jù)是商高數(shù)．

解答：解：（1）有一個偶數(shù)、兩個奇數(shù)或三個偶數(shù)；

（2）（40，42，58），（119，120，169）；

（3）a=2mn，b=m²-n²，c=m²+n²
證明：a²+b²=（2mn）²+（m²-n²）²
=4m²n²+m⁴-2m²n²+n⁴
=m⁴+2m²n²+n⁴=（m²+n²）²
∴a²+b²=c²．

點(diǎn)評：此題是定義性題目，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)所給條件找出各數(shù)據(jù)之間的規(guī)律，即可解答．