Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2－4ax＋b交x軸正半軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸正半軸于C，且OB＝OC＝3.

(1) 求拋物線的解析式；

(2) 如圖1，D為拋物線的頂點(diǎn)，P為對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上一點(diǎn)，連接OP交直線BC于G，連GD．是否存在點(diǎn)P，使？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3) 如圖2，將拋物線向上平移m個(gè)單位，交BC于點(diǎn)M、N．若∠MON＝45°，求m的值.

Answer 1

【答案】（1）y＝x2－4x＋3 ；(2) P();(3)

【解析】分析：(1)把,,代入,解方程組即可.
(2)如圖1中,連接OD、BD,對(duì)稱軸交x軸于K,將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OCG,則點(diǎn)G在線段BC上,只要證明是等腰直角三角形,即可得到直線GO與拋物線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P.利用方程組即可解決問(wèn)題. (3)如圖2中,將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,首先證明,設(shè),,則,
設(shè)平移后的拋物線的解析式為,由消去y得到,由,推出,,M、N關(guān)于直線對(duì)稱,所以,設(shè),則,利用勾股定理求出a以及MN的長(zhǎng),再根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系,列出方程即可解決問(wèn)題.

本題解析：

(1),,,代入,
得,解得,
∴拋物線的解析式為

(2)如圖1中,連接OD、BD,對(duì)稱軸交x軸于K.

由題意,,,,
,,
,
將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到,則點(diǎn)G在線段BC上,
,
,
,
是等腰直角三角形,
,
∴直線GO與拋物線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P.
設(shè)直線OD的解析式為,把D點(diǎn)坐標(biāo)代入得到,/span>,
,
∴直線OD的解析式為,
,
∴直線OG的解析式為,
由解得或,
點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè),
點(diǎn)P坐標(biāo)為

(3)如圖2中,將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到

,
,
,,,
,
,
,
,
,
設(shè),,則,
設(shè)平移后的拋物線的解析式為,
由消去y得到,

,,
∴M、N關(guān)于直線對(duì)稱,
,設(shè),則,
,
(負(fù)根已經(jīng)舍棄),
,
,