Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y=

2

m

x2-2x與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B，且對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）D為BO中點(diǎn)，直線(xiàn)AD交y軸于E，若點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，2），求拋物線(xiàn)的解析式；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M在直線(xiàn)BO上，且使得△AMC的周長(zhǎng)最小，P在拋物線(xiàn)上，Q在直線(xiàn)BC上，若以A、M、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）∵y=

2

m

x2-2x=

2

m

(x2-mx+

1

4

m2)-

2

m

•

1

4

m2=

2

m

(x-

1

2

m)2-

1

2

m，
∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(

1

2

m，-

1

2

m)．

（2）令

2

m

x2-2x=0，解得x₁=0，x₂=m．
∵拋物線(xiàn)y=

2

m

x2-2x與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，
∴A（m，0），且m＜0．
過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于F，如右圖；
由D為BO中點(diǎn)，DF∥BC，可得CF=FO=

1

2

CO．
∴DF=

1

2

BC．
由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得AC=OC．
∴AF：AO=3：4．
∵DF∥EO，
∴△AFD∽△AOE．
∴

FD

OE

=

AF

AO

．
由E（0，2），B(

1

2

m，-

1

2

m)，得OE=2，DF=-

1

4

m．
∴

- 1 4 m

2

=

3

4

．
∴m=-6．
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-

1

3

x2-2x．

（3）依題意，得A（-6，0）、B（-3，3）、C（-3，0）．可得直線(xiàn)OB的解析式為y=-x，直線(xiàn)BC為x=-3．
作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)BO的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′（0，3），連接AC′交BO于M，則M即為所求．
由A（-6，0），C′（0，3），可得直線(xiàn)AC′的解析式為y=

1

2

x+3．
由

y= 1 2 x+3 y=-x

解得

x=-2 y=2.

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，2）．
由點(diǎn)P在拋物線(xiàn)y=-

1

3

x2-2x上，設(shè)P（t，-

1

3

t2-2t）．
（�。┊�(dāng)AM為所求平行四邊形的一邊時(shí)．
①如右圖，過(guò)M作MG⊥x軸于G，過(guò)P₁作P₁H⊥BC于H，
則x_G=x_M=-2，x_H=x_B=-3．
∵四邊形AMP₁Q₁為平行四邊形，
∴AM=P₁Q₁，∠P₁Q₁H=∠AKC，
∵BK∥MG，
∴∠AMG=∠AKC，
∴∠P₁Q₁H=∠AMG，
∵

∠AGM=∠P1HQ1 ∠AMG=∠P1Q1H AM=P1Q1

，
∴△AMG≌△P₁Q₁H．
∴P₁H=AG=4．
∴t-（-3）=4．
∴t=1．
∴P1(1，-

7

3

)．
②如右圖，同①方法可得P₂H=AG=4．
∴-3-t=4．
∴t=-7．
∴P2(-7，-

7

3

)．
（ⅱ）當(dāng)AM為所求平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，如右圖；
過(guò)M作MH⊥BC于H，過(guò)P₃作P₃G⊥x軸于G，則x_H=x_B=-3，x_G=xP3=t．
由四邊形AP₃MQ₃為平行四邊形，可證△AP₃G≌△MQ₃H．
可得AG=MH=1．
∴t-（-6）=1．
∴t=-5．
∴P3(-5，

5

3

)．
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(1，-

7

3

)、P2(-7，-

7

3

)、P3(-5，

5

3

)．