Question

【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AC=BD,M,N分別是AB,CD的中點,MN分別交BD和AC于點E,F,對角線AC和BD相交于點G,則GE和GF相等嗎?為什么?

Answer 1

【答案】解:GE=GF.理由如下:
取BC的中點P,連接MP,NP.

∵AM=BM,BP=CP,
∴MP∥AC,MP= AC.
同理NP∥BD,NP= BD.
∵AC=BD,∴MP=NP.
∴∠PMN=∠PNM.
∵M(jìn)P∥AC,NP∥BD,
∴∠GFE=∠PMN,∠GEF=∠PNM.
∴∠GFE=∠GEF.
∴GE=GF.
【解析】根據(jù)已知條件M,N分別是AB,CD的中點，取BC的中點P，連接MP,NP，構(gòu)造△ABC和△BCD的中位線，根據(jù)中位線定理及AC=BD，證出MP=NP，再根據(jù)等邊對等角得出∠PMN=∠PNM，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)證得∠GFE=∠PMN,∠GEF=∠PNM，得出∠GFE=∠GEF，根據(jù)等角對等邊可證得結(jié)論。