Question

【題目】如圖，在矩形中，已知，，點是對角線上一動點（不與，重合），連接，過點作，交于點，

（1）求證：；

（2）當點是的中點時，求的值；

（3）在點運動過程中，當時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DE為；（3）BP的值為

【解析】

（1）根據矩形性質得到∠ADC=90°，在四邊形ADEP中根據內角和定理得到∠DEP+∠DAP=180°，再根據同角的余角相等即可證明；

（2）連接AC，求出∠ADB=60°，證明△ADP為等邊三角形，證明Rt△ADE≌Rt△APE，求出∠DAE=∠PAE=30°，根據，即可求出DE；

（3）過點P作PG⊥AB于G，GP的延長線交DC于H，設PG＝a，AG＝，EH= ，證明△AGP∽△PHE，得到，構造關于a的方程，解方程即可．

（1）證明：∵PE⊥AP，∴∠APE=90°；

∵四邊形ABCD是矩形

∴∠ADC=90°

在四邊形ADEP中

∠ADE+∠DEP+∠APE+∠DAP=360°

∴∠DEP+∠DAP=360°-90°-90°=180°

又∵∠DEP+∠PEC=180°

∴∠PAD=∠PEC

（2）連接AC，

∵四邊形ABCD是矩形，AB=，AD=2；

∴

∴∠ADB=60°

∵當點P是BD的中點

∴點P為AC與BD的交點

∴△ADP為等邊三角形

∴AP=AD=2

在Rt△ADE和Rt△APE中

∴Rt△ADE≌Rt△APE（HL）

∴∠DAE=∠PAE=30°

∴

∴

答：DE為

(3)如圖，過點P作PG⊥AB于G，GP的延長線交DC于H，四邊形ABCD是矩形

∴PG⊥DC，

∴GH＝BC＝2，

設PG＝a，則PH＝GH﹣PH＝2﹣a，

在Rt△BGP中，

tan∠PBG＝，

∴BG＝PG＝a，

∴AG＝AB﹣BG＝2﹣a＝（2﹣a），

EH=DH-DE=2﹣a﹣=﹣a

∵PG⊥DC，

∴∠APG+∠EPH＝90°，

∵∠APG+∠PAG＝90°，

∴∠EPH＝∠PAG，

∵∠AGP＝∠PHE＝90°，

∴△AGP∽△PHE，

∴，

∴BP=2PG=

答：BP的值為．