Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=4，BC=6，CD=

104

，點(diǎn)E在AB上，BE=4．
（1）線段AB=

10

；
（2）試判斷△CDE的形狀，并說明理由；
（3）現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P在線段EA上從點(diǎn)E開始以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)A移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．問是否存在t的值使得△CDP為直角三角形？若存在直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，利用勾股定理求出DF的長，進(jìn)而得出AB的長；
（2）利用勾股定理分別得出CE，DE的長，進(jìn)而利用勾股定理逆定理得出△CDE的形狀；
（3）分別根據(jù)∠DPC=90°，∠PDC=90°時(shí)，利用勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)求出即可．

解答：解：（1）過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=4，BC=6，
∴AD=BF=4，
∴FC=2，
∵CD=

104

，
∴DF=

( 104 )2-22

=10，
∴AB=10，
故答案為：10；

（2）△CDE的形狀是等腰直角三角形，
理由如下：
∵在△BEC中∠B=90°
∴CE=

BE2+BC2

=

42+62

=

52

；
∵在△AED中，∠A=90°，AD=4   AE=AB-BE=6
∴DE=

AD2+AE2

=

42+62

=

52

；
∴CE=DE，
∵CE²+DE²=（

52

）²+（

52

）²=104，
CD2=(

104

)2=104，
∴CE²+DE²=CD²，
∴∠DEC=90°
∴△CDE的形狀是等腰直角三角形；

（3）如圖2，當(dāng)t秒時(shí)，∠DPC=90°，
則∠APD+∠BPC=90°，∠APD+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
∵∠A=∠B，
∴△APD∽△BCP，
∴

AP

BC

=

AD

BP

，
∴

6-t

6

=

4

4+t

，
解得：t=2，
如圖3，當(dāng)t秒時(shí)，∠PDC=90°，
∴PD²+CD²=PC²，
∴AD²+AP²+（

104

）²=BP²+BC²，
∴4²+（6-t）²+=（4+t）²+6²
解得：t=5.2，
綜上所述：當(dāng)t=2或t=5.2時(shí)，△CDP為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與勾股定理以及逆定理等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．