Question

已知正整數p和q都是質數，且7p+q與pq+11也都是質數，試求p^q+q^p的值．

Answer 1

【答案】分析：根據質數的特征可知pq+11必為正奇質數，pq為偶數，從而確定p=2或q=2．再分情況討論求解即可．
解答：解：pq+11＞11且pq+11是質數，
∴pq+11必為正奇質數，pq為偶數，而數p、q均為質數，故p=2或q=2．
當p=2時，有14+q與2q+11均為質數．
當q=3k+1（k≥2）時，則14+q=3（k+5）不是質數；
當q=3k+2（k∈N）時，2q+11=3（2k+5）不是質數，
因此，q=3k，且q為質數，故q=3．
當q=2時，有7p+2與2p+11均為質數．
當p=3k+1（k≥2）時，7p+2=3（7k+3）不是質數；
當p=3k+2（k∈N）時，2p+11=3（2k+5）不是質數，
因此，p=3k，當p為質數，故p=3．
故p^q+q^p=2³+3²=17．
點評：本題考查了質數的基本性質，解題的關鍵是確定p=2或q=2，主要分類思想的運用，有一點的難度．