Question

18、如圖，AB是⊙O的直徑，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，連接AE、EF．
（1）求證：AE是∠BAC的平分線(xiàn)；
（2）若∠ABD=60°，則AB與EF是否平行？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）連接BE，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得到∠AEB=90°，再結(jié)合弦切角定理以及等角的余角相等進(jìn)行證明；
（2）首先根據(jù)AC∥BD，得到∠BAC=120°，再根據(jù)（1）的結(jié)論得到∠BAE=60°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角，則∠DFE=∠BAE=60°，從而根據(jù)同位角相等，得到兩條直線(xiàn)平行．

解答：解：（1）證明：連接BE；
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°．
∵CD且圓于E，
∴∠AEC=∠ABE，又AC⊥CD．
∴∠CAE=∠BAE．
即AE是∠BAC的平分線(xiàn)．

（2）AB∥EF．理由如下：
∵AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，
∴AC∥BD．
∴∠BAC=180°-∠B=120°．
∵AE是∠BAC的平分線(xiàn)，
∴∠BAE=60°．
∴∠DFE=∠BAE=60°（圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角），
∴∠DFE=∠ABF．
∴AB∥EF．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓周角定理、弦切角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)．