Question

如圖，直角梯形OABC的直角頂點O是坐標原點，邊OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA∥BC，D是BC上一點，BD=

1

4

OA=

2

，AB=3，∠OAB=45°，E、F分別是線段OA、AB上的兩動點，且始終保持∠DEF=45°．
（1）直接寫出D點的坐標；
（2）設(shè)OE=x，AF=y，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）當△AEF是等腰三角形時，將△AEF沿EF折疊，得到△A'EF，求△A'EF與五邊形OEFBC重疊部分的面積．

Answer 1

分析：（1）過B作x軸的垂線，設(shè)垂足為M，由已知易求得OA=4

2

，在Rt△ABM中，已知了∠OAB的度數(shù)及AB的長，即可求出AM、BM的長，進而可得到BC、CD的長，由此可求得D點的坐標；
（2）連接OD，證△ODE∽△AEF，通過得到的比例線段，即可得出y、x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若△AEF是等腰三角形，應(yīng)分三種情況討論：
①AF=EF，此時△AEF是等腰Rt△，A′在AB的延長線上，重合部分是四邊形EDBF，其面積可由梯形ABDE與△AEF的面積差求得；
②AE=EF，此時△AEF是等腰Rt△，且E是直角頂點，此時重合部分即為△A′EF，由于∠DEF=∠EFA=45°，得DE∥AB，即四邊形AEDB是平行四邊形，則AE=BD，進而可求得重合部分的面積；
③AF=AE，此時四邊形AEA′F是菱形，重合部分是△A′EF；由（2）知：△ODE∽△AEF，那么此時OD=OE=3，由此可求得AE、AF的長，過F作x軸的垂線，即可求出△AEF中AE邊上的高，進而可求得△AEF（即△A′EF）的面積．

解答：解：（1）過B作BM⊥x軸于M；
Rt△ABM中，AB=3，∠BAM=45°；則AM=BM=

3 2

2

；
∴BC=OA-AM=4

2

-

3 2

2

=

5 2

2

，CD=BC-BD=

3 2

2

；
∴D點的坐標是(

3

2

2

，

3

2

2

)；（2分）

（2）連接OD；如圖（1），由（1）知：D在∠COA的平分線上，則∠DOE=∠COD=45°；
又在梯形DOAB中，∠BAO=45°，∴OD=AB=3
由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°，又∠2=∠DEA-45°
∴∠1=∠2，∴△ODE∽△AEF（4分）
∴

OE

AF

=

OD

AE

，即：

x

y

=

3

4 2 -x

∴y與x的解析式為：y=-

1

3

x2+

4 2

3

x（6分）

（3）當△AEF為等腰三角形時，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3種情況；
①當EF=AF時，如圖（2），∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°；
∴△AEF為等腰直角三角形，D在A′E上（A′E⊥OA），
B在A′F上（A′F⊥EF）
∴△A′EF與五邊形OEFBC重疊的面積為四邊形EFBD的面積；
∵AE=OA-OE=OA-CD=4

2

-

3

2

2

=

5

2

2

∴AF=AE•sin45°=

5 2

2

×

2

2

=

5

2

S△AEF=

1

2

EF•AF=

1

2

×(

5

2

)2=

25

8

∴S梯形AEDB=

1

2

(BD+AE)•DE=

1

2

×(

2

+

5

2

2

)×

3 2

2

=

21

4

∴S四邊形BDEF=S梯形AEDB-S△AEF=

21

4

-

25

8

=

17

8

；
（也可用S_陰影=S_△A'EF-S_△A'BD）（8分）
②當EF=AE時，如圖（3），此時△A′EF與五邊形OEFBC重疊部分面積為△A′EF面積．
∠DEF=∠EFA=45°，DE∥AB，又DB∥EA
∴四邊形DEAB是平行四邊形
∴AE=DB=

2

∴S△A′EF=S△AEF=

1

2

AE•EFS△A/EF=

1

2

×(

2

)2=1（10分）
③當AF=AE時，如圖（4），四邊形AEA′F為菱形且△A′EF在五邊形OEFBC內(nèi)．
∴此時△A′EF與五邊形OEFBC重疊部分面積為△A′EF面積．
由（2）知△ODE∽△AEF，則OD=OE=3
∴AE=AF=OA-OE=4

2

-3
過F作FH⊥AE于H，則FH=AF•sin45°=(4

2

-3)×

2

2

=4-

3 2

2

∴S△A′EF=S△AEF=

1

2

AE•FH=

1

2

×(4

2

-3)•(4-

3 2

2

)=

41 2 -48

4

綜上所述，△A’EF與五邊形OEFBC重疊部分的面積為

17

8

或1或

41 2 -48

4

．（12分）

點評：此題主要考查了梯形、平行四邊形、等腰三角形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定和性質(zhì)；同時還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想．