【題目】如圖，在△ABC中，D為AC上一點，且CD=CB，以BC為直徑作⊙O，交BD于點E，連接CE，過D作DF⊥AB于點F，∠BCD=2∠ABD．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若∠A=60°，DF=
，求⊙O的直徑BC的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）
．
【解析】
試題分析：（1）由CD=CB，∠BCD=2∠ABD，可證得∠BCE=∠ABD，繼而求得∠ABC=90°，則可證得AB是⊙O的切線；
（2）由∠A=60°，DF=
，可求得AF、BF的長，易證得△ADF∽△ACB，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案．
試題解析：（1）證明：∵CD=CB，∴∠CBD=∠CDB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠CBE=90°，∴∠CBD+∠BCE=∠CDB+∠DCE，∴∠BCE=∠DCE，即∠BCD=2∠BCE，∵∠BCD=2∠ABD，∴∠ABD=∠BCE，∴∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°，∴CB⊥AB，∵CB為直徑，∴AB是⊙O的切線；
（2）∵∠A=60°，DF=，∴在Rt△AFD中，AF=
=
=1，AD=2．
∵DF⊥AB，CB⊥AB，∴DF∥BC，∴∠ADF=∠ACB，∵∠A=∠A，∴△ADF∽△ACB，∴
，設BC=x，則
，解得x=，∴BC=．
全優(yōu)點練單元計劃系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】（操作發(fā)現】
在計算器上輸入一個正數，不斷地按“
”鍵求算術平方根，運算結果越來越接近1或都等于1．
【提出問題】
輸入一個實數，不斷地進行“乘以常數k，再加上常數b”的運算，有什么規(guī)律？
【分析問題】
我們可用框圖表示這種運算過程（如圖a）．
也可用圖象描述：如圖1，在x軸上表示出x1，先在直線y=kx+b上確定點（x1，y1），再在直線y=x上確定縱坐標為y1的點（x2，y1），然后再x軸上確定對應的數x2，…，以此類推．
【解決問題】
研究輸入實數x1時，隨著運算次數n的不斷增加，運算結果x，怎樣變化．
（1）若k=2，b=﹣4，得到什么結論？可以輸入特殊的數如3，4，5進行觀察研究；
（2）若k＞1，又得到什么結論？請說明理由；
（3）①若
，b=2，已在x軸上表示出x1（如圖2所示），請在x軸上表示x2，x3，x4，并寫出研究結論；
②若輸入實數x1時，運算結果xn互不相等，且越來越接近常數m，直接寫出k的取值范圍及m的值（用含k，b的代數式表示）
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】為了提高產品的附加值，某公司計劃將研發(fā)生產的1200件新產品進行精加工后再投放市場．現有甲、乙兩個工廠都具備加工能力，公司派出相關人員分別到這兩間工廠了解情況，獲得如下信息： 信息一：甲工廠單獨加工完成這批產品比乙工廠單獨加工完成這批產品多用10天；
信息二：乙工廠每天加工的數量是甲工廠每天加工數量的1.5倍．
根據以上信息，求甲、乙兩個工廠每天分別能加工多少件新產品？
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，點A在反比例函數
的圖象上．若點B在反比例函數
的圖象上，則k的值為（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，對角線AC為⊙O的直徑，過點C作AC的垂線交AD的延長線于點E，點F為CE的中點，連接DB，DC，DF．
（1）求∠CDE的度數；
（2）求證：DF是⊙O的切線；
（3）若AC=
DE，求tan∠ABD的值．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，AB是⊙O的弦，點C為半徑OA的中點，過點C作CD⊥OA交弦AB于點E，連接BD，且DE=DB．
（1）判斷BD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若CD=15，BE=10，tanA=
，求⊙O的直徑．
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