Question

已知，，是的平分線，點在上，．將三角板的直角頂點放置在點處，繞著點旋轉，三角板的一條直角邊與射線交于點，另一條直角邊與直線、直線分別交于點、點．

（1）如圖，當點在射線上時，

①求證： ；

②設，，求與的函數(shù)解析式并寫出函數(shù)的定義域；

（2）連結，當△與△似時，求的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）①證明見解析②（2）

【解析】（1）

證明：①過點作，，垂足分別為、．

∵是的平分線，

∴．

由，得．

∴．

∵，

∴．

∴△≌△．                        （3分）

∴．

解：②∵，

∴．

      ∵△≌△，

∴．

∴．                                                           （2分）

∵∥，

∴．

∴．                                                          （2分）

∴                                              （2分）

解：（2）當△與△相似時，點的位置有兩種情況：

①當點在射線上時，

∵，，

∴．

∴．

∴．

在Rt△中，．                                （2分）

②當點在延長線上時，

∵，，

∴．

∵，，

∴．

易證，可得．

∴．

∴．

易證△≌△，

可得．

∵∥，

∴．

∴．

∴．                                                     （2分）

（1）①過點P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分別為M、N，有已知條件證明△PMF≌△PNE即可證明PF=PE；②利用①中的三角形全等和相似三角形的性質即可求出y與x的函數(shù)解析式，再寫出其自變量的取值范圍即可；

（2）當△CEF與△EGP相似時，點F的位置有兩種情況：①當點F在射線CA上時，②當點F在AC延長線上時，分別討論求出滿足題意的EG長即可．