Question

（2013•攀枝花）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，點(diǎn)B（10，0），C（7，4）．直線l經(jīng)過A，D兩點(diǎn)，且sin∠DAB=

2

2

．動點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒5個單位的速度沿B→C→D的方向向點(diǎn)D運(yùn)動，過點(diǎn)P作PM垂直于x軸，與折線A→D→C相交于點(diǎn)M，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動的時間為t秒（t＞0），△MPQ的面積為S．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為

（-4，0）

，直線l的解析式為

y=x+4

；
（2）試求點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍；
（3）試求（2）中當(dāng)t為何值時，S的值最大，并求出S的最大值；
（4）隨著P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M在線段DC上運(yùn)動時，設(shè)PM的延長線與直線l相交于點(diǎn)N，試探究：當(dāng)t為何值時，△QMN為等腰三角形？請直接寫出t的值．

Answer 1

分析：（1）利用梯形性質(zhì)確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用sin∠DAB=

2

2

特殊三角函數(shù)值，得到△AOD為等腰直角三角形，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；由點(diǎn)A、點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線l的解析式；
（2）解答本問，需要弄清動點(diǎn)的運(yùn)動過程：
①當(dāng)0＜t≤1時，如答圖1所示；
②當(dāng)1＜t≤2時，如答圖2所示；
③當(dāng)2＜t＜

16

7

時，如答圖3所示．
（3）本問考查二次函數(shù)與一次函數(shù)在指定區(qū)間上的極值，根據(jù)（2）中求出的S表達(dá)式與取值范圍，逐一討論計(jì)算，最終確定S的最大值；
（4）△QMN為等腰三角形的情形有兩種，需要分類討論，避免漏解．

解答：解：（1）∵C（7，4），AB∥CD，
∴D（0，4）．
∵sin∠DAB=

2

2

，
∴∠DAB=45°，
∴OA=OD=4，
∴A（-4，0）．
設(shè)直線l的解析式為：y=kx+b，則有

b=4 -4k+b=0

，
解得：k=1，b=4，
∴y=x+4．
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（-4，0），直線l的解析式為：y=x+4．

（2）在點(diǎn)P、Q運(yùn)動的過程中：
①當(dāng)0＜t≤1時，如答圖1所示：

過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，則CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．
過點(diǎn)Q作QE⊥x軸于點(diǎn)E，則BE=BQ•cos∠CBF=5t•

3

5

=3t．
∴PE=PB-BE=（14-2t）-3t=14-5t，
S=

1

2

PM•PE=

1

2

×2t×（14-5t）=-5t²+14t；
②當(dāng)1＜t≤2時，如答圖2所示：

過點(diǎn)C、Q分別作x軸的垂線，垂足分別為F，E，
則CQ=5t-5，PE=AF-AP-EF=11-2t-（5t-5）=16-7t，
S=

1

2

PM•PE=

1

2

×2t×（16-7t）=-7t²+16t；
③當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)Q相遇時，DM+CQ=CD=7，
即（2t-4）+（5t-5）=7，解得t=

16

7

．
當(dāng)2＜t＜

16

7

時，如答圖3所示：

MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，
S=

1

2

PM•MQ=

1

2

×4×（16-7t）=-14t+32．

（3）①當(dāng)0＜t≤1時，S=-5t²+14t=-5（t-

7

5

）²+

49

5

，
∵a=-5＜0，拋物線開口向下，對稱軸為直線t=

7

5

，
∴當(dāng)0＜t≤1時，S隨t的增大而增大，
∴當(dāng)t=1時，S有最大值，最大值為9；
②當(dāng)1＜t≤2時，S=-7t²+16t=-7（t-

8

7

）²+

64

7

，
∵a=-7＜0，拋物線開口向下，對稱軸為直線t=

8

7

，
∴當(dāng)t=

8

7

時，S有最大值，最大值為

64

7

；
③當(dāng)2＜t＜

16

7

時，S=-14t+32
∵k=-14＜0，
∴S隨t的增大而減�。�
又∵當(dāng)t=2時，S=4；
當(dāng)t=

16

7

時，S=0，
∴0＜S＜4．
綜上所述，當(dāng)t=

8

7

時，S有最大值，最大值為

64

7

．

（4）△QMN為等腰三角形，有兩種情形：
①如答圖4所示，點(diǎn)M在線段CD上，
MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，MN=DM=2t-4，
由MN=MQ，得16-7t=2t-4，解得t=

20

9

；

②如答圖5所示，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到C點(diǎn)，同時當(dāng)Q剛好運(yùn)動至終點(diǎn)D，
此時△QMN為等腰三角形，t=

12

5

．
故當(dāng)t=

20

9

或t=

12

5

時，△QMN為等腰三角形．

點(diǎn)評：本題是典型的運(yùn)動型綜合題，難度較大，解題關(guān)鍵是對動點(diǎn)運(yùn)動過程有清晰的理解．第（3）問中，考查了指定區(qū)間上的函數(shù)極值，增加了試題的難度；另外，分類討論的思想貫穿（2）-（4）問始終，同學(xué)們需要認(rèn)真理解并熟練掌握．