Question

如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接BE、CE，點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，連接DF、BF，點(diǎn)M是BF上一點(diǎn)且

BM

MF

=

1

2

，過點(diǎn)M做MN⊥BC于點(diǎn)N，連接FN．下列結(jié)論中：
①BE=CE；②∠BEF=∠DFE；③MN=

1

6

AB；④

S△FMN

S四邊形EFNB

=

1

6

．
其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：設(shè)AE=a，則DE=a，AB=BC=CD=DA=2a．在正方形ABCD中，根據(jù)勾股定理可得BE=CE，故①正確；過點(diǎn)F作FG⊥AD于G，F(xiàn)G交BC于H．由F是CE的中點(diǎn)，得出EG=DG=

1

2

DE=

1

2

a，GF=

1

2

CD=a．再根據(jù)正切函數(shù)的定義可得tan∠AEB=tan∠GDF=2，則∠AEB=∠GDF，BE∥DF，從而有∠BEF=∠DFE，故②正確；由△EFG≌△CFH，得出FG=FH=a，由MN∥FH，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得MN=

1

3

FH=

1

3

a，則MN=

1

6

AB，故③正確；分別計(jì)算S_△FMN與S_{四邊形FEBN}，即可得出

S△BNF

S四邊形BEFN

=

1 6 a2

5 4 a2

=

2

15

，故④錯誤．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AB=BC=CD=DA，AD∥BC．
設(shè)AE=a，則DE=a，AB=BC=CD=DA=2a．
在△ABE中，由勾股定理，得BE=

5

a，
在△CDE中，由勾股定理，得CE=

5

a，
∴BE=CE，故①正確；
過點(diǎn)F作FG⊥AD于G，F(xiàn)G交BC于H．
∵AD∥BC，F(xiàn)G⊥AD，∴GH⊥BC．
∵FG∥CD，點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，
∴EG=DG=

1

2

DE=

1

2

a，GF=

1

2

CD=a．
在直角△ABE中，∵tan∠AEB=

AB

AE

=

2a

a

=2，
在直角△GFD中，∵tan∠GDF=

GF

DG

=

a

1 2 a

=2，
∴tan∠AEB=tan∠GDF，
∵0°＜∠AEB＜90°，0°＜∠GDF＜90°，
∴∠AEB=∠GDF，
∴BE∥DF，
∴∠BEF=∠DFE，故②正確；
易證△EFG≌△CFH，則FG=FH=a，EG=CH=

1

2

a．
∵GH∥CD，GD∥HC，∠CDA=90°，
∴四邊形CDGH是矩形，
∴CH=DG=

1

2

a，
∴BH=BC-CH=

3

2

a．
∵M(jìn)N⊥BC，GH⊥BC，
∴MN∥FH，
∴

MN

FH

=

BN

BH

=

BM

BF

=

1

3

，
∴MN=

1

3

FH=

1

3

a，BN=

1

3

BH=

1

2

a，
∴MN=

1

6

AB，故③正確；
∵BN=CH=

1

2

a，
∴NH=BC-BN-CH=a，
∴S_△FMN=

1

2

MN•NH=

1

2

×

1

3

a×a=

1

6

a²，
S_{四邊形FEBN}=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△CDE-S_△CNF=4a²-

1

2

•2a•a-

1

2

•2a•a-

1

2

•

3

2

a•a=

5

4

a²．
∴

S△FMN

S四邊形EFNB

=

1 6 a2

5 4 a2

=

2

15

，故④錯誤．
故選C．

點(diǎn)評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，作出輔助線是解題的關(guān)鍵，設(shè)輔助未知數(shù)AE=a可使問題簡化．