Question

20．如圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分ACB和矩形的三邊AE、ED、DB組成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，拋物線的頂點(diǎn)C到ED的距離是11米，以ED所在的直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）根據(jù)題意，填空：
①頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，11）；
②B點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，8）；
（2）求拋物線的解析式；
（3）已知從某時(shí)刻開始的40小時(shí)內(nèi)，水面與河底ED的距離h（單位：米）隨時(shí)間t（單位：時(shí)）的變化滿足函數(shù)關(guān)系h=-$\frac{1}{128}$（t-19）²+8（0≤t≤40），且當(dāng)點(diǎn)C到水面的距離不大于5米時(shí)，需禁止船只通行，請通過計(jì)算說明：在這一時(shí)段內(nèi)，需多少小時(shí)禁止船只通行？

Answer 1

分析 （1）求出OC、OD、BD的長即可解決問題．
（2）根據(jù)拋物線特點(diǎn)設(shè)出二次函數(shù)解析式，把B坐標(biāo)代入即可求解；
（3）水面到頂點(diǎn)C的距離不大于5米時(shí)，即水面與河底ED的距離h至多為6，把6代入所給二次函數(shù)關(guān)系式，求得t的值，相減即可得到禁止船只通行的時(shí)間．

解答 解：（1）由題意OC=11，OD=8，BD=AE=8，
∴C（0，11），B（8，8），
故答案為（0，11）和（8，8）．

（2）∵點(diǎn)C到ED的距離是11米，
∴OC=11，
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+11，由題意得B（8，8），
∴64a+11=8，
解得a=-$\frac{3}{64}$，
∴y=-$\frac{3}{64}$x²+11；

（3）水面到頂點(diǎn)C的距離不大于5米時(shí)，即水面與河底ED的距離h至多為11-5=6（米），
∴6=-$\frac{1}{128}$（t-19）²+8，
∴（t-19）²=256，
∴t-19=±16，
解得t₁=35，t₂=3，
∴35-3=32（小時(shí)）．
答：需32小時(shí)禁止船只通行．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題，利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實(shí)際問題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．