Question

已知拋物線y=x²-（2m-1）x+4m-6．
（1）試說(shuō)明對(duì)于每一個(gè)實(shí)數(shù)m，拋物線都經(jīng)過(guò)x軸上的一個(gè)定點(diǎn)A；
（2）設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B（A、B不重合），頂點(diǎn)為C，若△ABC為直角三角形，試求m的值；
（3）在滿足（2）的條件時(shí)，若點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)，試問(wèn)：拋物線上是否存在點(diǎn)D，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，求出D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）令x²-（2m-1）x+4m-6=0，利用求根公式可解得：x₁=2m-3，x₂=2，所以對(duì)于每一個(gè)實(shí)數(shù)m，拋物線都經(jīng)過(guò)x軸上的一個(gè)定點(diǎn)A（2，0）．
（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性且△ABC為直角三角形，可得△ABC為等腰直角三角形且∠ACB=90°，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AB于P，則CP=

1

2

AB，利用拋物線y=x²-（2m-1）x+4m-6的頂點(diǎn)公式可知，頂點(diǎn)為C(

2m-1

2

，

20m-4m2-25

4

)，可得4m²-20m+25=10-4m，解得m1=

3

2

，m2=

5

2

（舍去）或4m²-20m+25=4m-10，m3=

7

2

，m4=

5

2

（舍去），綜合可得：m的值為

3

2

或

7

2

．
（3）先求得拋物線方程為y=x²-2x，設(shè)存在點(diǎn)D，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，
i）若BD∥AC，設(shè)直線AC方程為y=k₁x+b₁，把A、C坐標(biāo)代入直線方程得，直線AC方程為y=x-2，直線BD方程為y=x，聯(lián)立方程組可求得交點(diǎn)坐標(biāo)為D（3，3）．
ii）若AD∥BC，由于直線BC方程為y=-x，所以，可設(shè)直線AD的方程為y=-x+b₂，把A（-2，0）代入得，y=-x+2，聯(lián)立方程組可求得交點(diǎn)坐標(biāo)為D（-1，3）．
所以拋物線上存在點(diǎn)D（3，3）或D（-1，3），使得以為A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是梯形．

解答：解：（1）令x²-（2m-1）x+4m-6=0，
有求根公式解得：x₁=2m-3，x₂=2
∴對(duì)于每一個(gè)實(shí)數(shù)m，拋物線都經(jīng)過(guò)x軸上的一個(gè)定點(diǎn)A（2，0）；

（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性且△ABC為直角三角形，可得△ABC為等腰直角三角形且∠ACB=90°如圖，
過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AB于P，則CP=

1

2

AB，
∵拋物線y=x²-（2m-1）x+4m-6的頂點(diǎn)
為C(

2m-1

2

，

20m-4m2-25

4

)
∴CP=|

20m-4m2-25

4

|，

1

2

AB=

1

2

|(2m-3)-2|=|

2m-5

2

||

20m-4m2-25

4

|=|

2m-5

2

|
∴4m²-20m+25=10-4mm1=

3

2

，m2=

5

2

（舍去）
或4m²-20m+25=4m-10m3=

7

2

，m4=

5

2

（舍去）
綜上可得：m的值為

3

2

或

7

2

（3）依題意得：m=1.5，此時(shí)拋物線方程為y=x²-2x
設(shè)存在點(diǎn)D，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，
i）若BD∥AC，設(shè)直線AC方程為y=k₁x+b₁，
把A、C坐標(biāo)代入直線方程得，

0=2k1+b1 -1=k1+b1

解得

k1=1 b1=-2

∴直線AC方程為y=x-2
∴直線BD方程為y=x
由

y=x y=x2-2x

得

x1=0 y1=0

x2=3 y2=3

∴D（3，3）
ii）若AD∥BC，由于直線BC方程為y=-x，
所以，可設(shè)直線AD的方程為y=-x+b₂，
把A（-2，0）代入得，0=-2+b₂，
∴b₂=2，∴y=-x+2．
∴

y=-x+2 y=x2-2x

解得

x1=2 y1=0

x2=-1 y2=3

．
∴D（-1，3）
綜上可得：拋物線上存在點(diǎn)D（3，3）或D（-1，3），使得以為A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是梯形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和梯形的性質(zhì)，函數(shù)圖象交點(diǎn)的意義等．要熟練掌握才能靈活運(yùn)用．