Question

【題目】在△ABC中，P為邊AB上一點．
（1）如圖1，若∠ACP=∠B，求證：AC2=APAB；

（2）若M為CP的中點，AC=2．
①如圖2，若∠PBM=∠ACP，AB=3，求BP的長；
②如圖3，若∠ABC=45°，∠A=∠BMP=60°，直接寫出BP的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠ACP=∠B，∠A=∠A，

∴△ACP∽△ABC，

∴ ，

∴AC2=APAB；

（2）

解：①取AP在中點G，連接MG，設AG=x，則PG=x，BG=3﹣x，

∵M是PC的中點，

∴MG∥AC，

∴∠BGM=∠A，

∵∠ACP=∠PBM，

∴△APC∽△GMB，

∴ ，

即 ，

∴x= ，

∵AB=3，

∴AP=3﹣ ，

∴PB= ；

②過C作CH⊥AB于H，延長AB到E，使BE=BP，

∵∠ABC=45°，∠A=60°，

∴CH= ，HE= +x，

∵CE2= +9 +x）2，

∵PB=BE，PM=CM，

∴BM∥CE，

∴∠PMB=∠PCE=60°=∠A，

∵∠E=∠E，

∴△ECP∽△EAC，

∴ ，

∴CE2=EPEA，

∴3+3+x2+2 x=2x（x+ +1），

∴x= ﹣1，

∴PB= ﹣1．

【解析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）①取AP在中點G，連接MG，設AG=x，則PG=x，BG=3﹣x，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到MG∥AC，由平行線的性質(zhì)得到∠BGM=∠A，∵∠根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，求得x= ，即可得到結(jié)論；②過C作CH⊥AB于H，延長AB到E，使BE=BP解直角三角形得到CH= ，HE= +x，根據(jù)勾股定理得到CE2= +9 +x）2根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CE2=EPEA列方程即可得到結(jié)論．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行線的性質(zhì)和勾股定理的概念的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．