Question

已知：拋物線y=x²-（a+2）x+9的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上．
（1）求a的值；
（2）若該拋物線的頂點(diǎn)C在x軸的正半軸上，而此拋物線與直線y=x+9交于A，B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)，P為線段AB上的點(diǎn)（A，B兩端點(diǎn)除外）．過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)Q（可在圖中畫(huà)示意圖）．問(wèn)：
①線段AB上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得PQ的長(zhǎng)等于6？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②線段AB上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△ABQ∽△OAC？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）此題應(yīng)分兩種情況考慮：
①拋物線的頂點(diǎn)在y軸上，那么拋物線的一次項(xiàng)系數(shù)為0，可據(jù)此求出a的值；
②拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，拋物線解析式中，若y=0，則所得方程的判別式△=0，可據(jù)此求得a的值．
（2）拋物線的頂點(diǎn)在x軸正半軸上，那么拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，根據(jù)上述條件結(jié)合（1）題的解，可求得a的值，進(jìn)而確定該拋物線的解析式，再聯(lián)立直線y=x+9即可求得A、B的坐標(biāo)；
①設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線和直線AB的解析式，即可表示出P、Q的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可得到關(guān)于PQ的長(zhǎng)和P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求得PQ的最大值及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)；
②假設(shè)存在符合條件的Q點(diǎn)，由于△ABQ∽△OAC，則∠COA=∠QAB=90°，即QA⊥AB，由于直線AB的斜率為1，即它與x軸的夾角為45°，那么∠QAO=45°，若過(guò)Q作QH⊥y軸于H，則△QAH是等腰直角三角形，可設(shè)出點(diǎn)Q，進(jìn)而可表示出QH、AH、OH的長(zhǎng)，根據(jù)OA=OH+AH=9，即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，此時(shí)Q（5，4），顯然兩個(gè)直角三角形的對(duì)應(yīng)直角邊是不成比例的，故不存在符合條件的Q點(diǎn)．

解答：解：（1）若拋物線y=x²-（a+2）x+9的頂點(diǎn)在y軸上，得a=-2；（2分）
若拋物線y=x²-（a+2）x+9的頂點(diǎn)在x軸上，
由△=0，得a=4或a=-8．（4分）

（2）根據(jù)題意得a=4，此時(shí)拋物線為y=x²-6x+9．（5分）
解

y=x+9 y=x2-6x+9

，
得

x1=0 y1=9

，

x2=7 y2=16

；
所以A（0，9），B（7，16）．（7分）
①由于點(diǎn)P在直線y=x+9上，
因此設(shè)符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t+9），
此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（t，t²-6t+9），（9分）
由題意得PQ=（t+9）-（t²-6t+9）=6，
解得t=1或6．（11分）
由題意0＜t＜7，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，10）或（6，15）；（12分）
②設(shè)在線段AB上存在這樣的點(diǎn)P，使得△ABQ∽△OAC，
∵∠BAQ=∠AOC=90°，分別過(guò)B，Q兩點(diǎn)向y軸作垂線，垂足為E，H，
由∠BAQ=90°，注意到直線y=x+9與x軸所夾的銳角為45°，
由QH=AH可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（5，4），但顯然AB：AQ≠OA：OC，
∴△ABQ與△OAC不可能相似，（13分）
∴線段AB上不存在符合條件的點(diǎn)P．（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大．