Question

【題目】如圖①，中，，、∠C的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交、于、.試回答：

（1）圖中等腰三角形有________個(gè).猜想：與、之間的關(guān)系是________.說(shuō)明理由；

（2）如圖②，若，圖中等腰三角形有________個(gè)，在第（1）問(wèn)中與、間的關(guān)系還存在嗎？

（3）如圖③，若中的平分線與三角形外角平分線交于，過(guò)點(diǎn)作交于，交于，這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎？與、關(guān)系又如何？說(shuō)明你的理由.

Answer 1

【答案】(1) 5個(gè)，；(2)見(jiàn)解析;(3) 見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的判定、平分線的性質(zhì)及角平分線可得有5個(gè)等腰三角形, 由△EOB和△FOC是等腰三角形，則EO=BE，OF=FC，則EF=BE+FC；

（2）由（1）的證明過(guò)程可知：在證△OEB、△OFC是等腰三角形的過(guò)程中，與AB=AC的條件沒(méi)有關(guān)系，故這兩個(gè)等腰三角形還成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的結(jié)論仍成立．
（3）思路與（2）相同，只不過(guò)結(jié)果變成了EF=BE-FC．

解：（1）如圖1，圖中共有5個(gè)等腰三角形，分別是△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
理由是：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形；
∵BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACO=∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO，
∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形，

∴圖中是等腰三角形的有：、、、、.

、、的關(guān)系是.理由如下：

∵、平分、，

∴，，

∵，

∴，，

即，，

∴.

（2）2個(gè)

存在（1）的結(jié)論仍然成立.（證明過(guò)程同（1））.

（3）和仍是等腰三角形，.理由如下：

同（1）可證得是等腰三角形.

∵，

∴，

∵平分，

∴，

∴，故是等腰三角形，

∴.