Question

某人定制了一批地磚，每塊地磚（如圖（1）所示）是邊長為0.4米的正方形ABCD，點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上，△CFE、△ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價(jià)格依次為30元、20元、10元，若將此種地磚按圖（2）所示的形式鋪設(shè)，且能使中間的陰影部分組成四邊形EFGH．
（1）判斷圖（2）中四邊形EFGH是何形狀，并說明理由；
（2）E、F在什么位置時(shí)，定制這批地磚所需的材料費(fèi)用最��？

Answer 1

分析：（1）圖（2）可以看作是由四塊圖（1）所示地磚繞C點(diǎn)按順（逆）時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的，故CE=CF=CG．所以△CEF是等腰直角三角形．因此四邊形EFGH是正方形．
（2）費(fèi)用由三部分的費(fèi)用組成，因此需求各個(gè)部分的面積．因?yàn)镃E=CF，所以可設(shè)CE=x，用含x的式子表示各部分的面積，得出費(fèi)用的表達(dá)式，再運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解答．

解答：解：（1）四邊形EFGH是正方形．（2分）
圖（2）可以看作是由四塊圖（1）所示地磚繞C點(diǎn)按順（逆）時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的，
故CE=CF=CG．
∴△CEF是等腰直角三角形．
∴四邊形EFGH是正方形．（4分）

（2）設(shè)CE=x，則BE=0.4-x，每塊地磚的費(fèi)用為y，
那么y=

1

2

x²×30+

1

2

×0.4×（0.4-x）×20+[0.16-

1

2

x²-

1

2

×0.4×（0.4-x）]×10
=10（x²-0.2x+0.24）
=10[（x-0.1）²+0.23]（0＜x＜0.4）．（8分）
當(dāng)x=0.1時(shí)，y有最小值，即費(fèi)用為最省，此時(shí)CE=CF=0.1．
答：當(dāng)CE=CF=0.1米時(shí)，總費(fèi)用最�。�（10分）

點(diǎn)評：此題是數(shù)學(xué)綜合題，涉及四邊形和二次函數(shù)的有機(jī)結(jié)合，很有創(chuàng)意．