Question

如圖1，P為正方形ABCD內(nèi)一點，且PA：PB：PC=1：2：3，求∠APB的度數(shù)．
小娜同學(xué)的想法是：不妨設(shè)PA=1，PB=2，PC=3，設(shè)法把PA、PB、PC相對集中，于是他將△BCP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAE（如圖2），然后連接PE，問題得以解決．
請你回答：圖2中∠APB的度數(shù)為______．
請你參考小娜同學(xué)的思路，解決下列問題：
如圖3，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．
（1）在圖3中畫出并指明以PA、PB、PC的長度為三邊長的一個三角形（保留畫圖痕跡）；
（2）求出以PA、PB、PC的長度為三邊長的三角形的各內(nèi)角的度數(shù)分別等于______．

Answer 1

解：如圖2．
∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知∠PBE=90°，△BCP≌△BAE．
∴BP=BE，PC=AE，
∴∠BPE=∠BEP=45°．
又PA：PB：PC=1：2：3，
∴AE²=AP²+PE²，
∴∠APE=90°，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=90°+45°=135°，即圖2中∠APB的度數(shù)為135°．
故答案是：135°；

（1）如圖3，將△BCP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACM，然后連接PM，△APM即為所求，即以PA、PB、PC的長度為三邊長的一個三角形是△APM．以PA、PB、PC的長度為三邊長的一個三角形是△APM．

（2）如圖3．
∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知∠PCM=60°，△BCP≌△ACM．
∴PC=CM，∠AMC=∠BPC=125°，
∴△PCM是等邊三角形，
∴∠MPC=∠PMC=60°，∠AMP=∠AMC-∠PMC=65°．
∵∠APB=115°，∠BPC=125°，∠APB+∠BPC+∠MPC+∠APM=360°，
∴∠APM=60°，
∴∠PAM=180°-∠APM-∠AMP=55°．
∴以PA、PB、PC的長度為三邊長的三角形的各內(nèi)角的度數(shù)分別等于  60°、65°、55°．
故答案是：60°、65°、55°．
分析：圖2中，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△BCP≌△BAE．由全等三角形的對應(yīng)邊相等、等腰三角形的判定推知△BPE是等腰三角形，則∠BPE=∠BEP=45°；然后由全等三角形的對應(yīng)邊相等、勾股定理證得∠APE=90°；最后根據(jù)圖中角與角間的數(shù)量關(guān)系求得∠APB=135°；
（1）設(shè)法把PA、PB、PC相對集中，將△BCP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACM，然后連接PM，問題得以解決．
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知∠PCM=60°，△BCP≌△ACM．然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等，周角的定義以及三角形內(nèi)角和定理來求以PA、PB、PC的長度為三邊長的三角形的各內(nèi)角的度數(shù)．
點評：本題綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形和正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點．旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)角、對應(yīng)線段分別相等，圖形的大小、形狀都不變．