Question

【題目】在正方形中，，點(diǎn)，，分別在邊，，上，且垂直.

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，平移線段至線段，交于點(diǎn)，圖中陰影部分的面積與正方形的面積之比為，求的周長；

（3）如圖3，若，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段，連接，則線段的最小值為______.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，利用直角三角形兩銳角互余的關(guān)系可得，利用ASA可證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得結(jié)論；（2）根據(jù)陰影部分的面積與正方形的面積之比為可求出空白部分的面積，根據(jù)可求出△ABO的面積，設(shè)，，可得ab=4，根據(jù)勾股定理可得a2+b2=16，即可求出a+b=，進(jìn)而可求出△ABO的周長；（3）過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，過B作BP//HF，交CD于P，可證明四邊形是平行四邊形，可得，設(shè)，分別用a表示出CN和CF的長，根據(jù)勾股定理表示出NF的長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值即可.

（1）如圖，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

∵四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)、分別在邊、上，

∴BH//GF，，，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

∵垂直，HF//BG，

∴垂直，

∴，

∵∠ABE=，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∴AE=HF.

（2）∵陰影部分的面積與正方形的面積之比為，

∴陰影部分的面積為，

∴空白部分的面積為，

由（1）得，，

∴的面積與四邊形的面積相等，

∴S△AOB=，

設(shè)，，則，即，

在中，，

∴，

∴，即，

∴，即，

∴的周長=AB+OA+OB=．

（3）過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，過B作BP//HF，交CD于P，

∵，

∴，

由（1）得，△ABN≌△BCP，BH=PF，

∴BN=CP，

∵，

∴，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

設(shè)，則，CP=4-2a，

∴，

∴CN=4-BN=2a，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，取得最小值.