Question

（2012•日照）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．
（Ⅰ）探究新知
如圖①，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，與三邊分別相切于點(diǎn)E、F、G．
（1）求證：內(nèi)切圓的半徑r₁=1； 
（2）求tan∠OAG的值；
（Ⅱ）結(jié)論應(yīng)用
（1）如圖②，若半徑為r₂的兩個(gè)等圓⊙O₁、⊙O₂外切，且⊙O₁與AC、AB相切，⊙O₂與BC、AB相切，求r₂的值；
（2）如圖③，若半徑為r_n的n個(gè)等圓⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n依次外切，且⊙O₁與AC、AB相切，⊙O_n與BC、AB相切，⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n均與AB相切，求r_n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（1）根據(jù)切線的性質(zhì)以及正方形的判定得出四邊形CEOF是正方形，進(jìn)而得出CE=CF=r₁，再利用切線長(zhǎng)定理求出即可；
（2）在Rt△AOG中，根據(jù)r₁=1，AG=3-r₁=2，求出tan∠OAG的值即可；
（Ⅱ）（1）由tan∠OAG=

1

2

，知tan∠O₁AD=

1

2

，同理可得：tan∠O₂BE=

O2E

BE

=

1

3

，進(jìn)而得出AD=2r₂，DE=2r₂，BE=3r₂，即可求出r₂=

5

7

；
（2）根據(jù)（1）中所求可以得出AD=2r_n，DE=2r_n，…，MB=3r_n，得到2r_n+2r_n+…+3r_n=5，求出即可．

解答：（Ⅰ）（1）證明：在圖①中，連接OE，OF，OA．
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，與三邊分別相切于點(diǎn)E、F、G．
∴OF⊥BC，OE⊥AC，∠ACB=90°，
∴四邊形CEOF是矩形，
又∵EO=OF，
∴四邊形CEOF是正方形，
CE=CF=r₁．
又∵AG=AE=3-r₁，BG=BF=4-r₁，
AG+BG=5，
∴（3-r₁）+（4-r₁）=5．
即r₁=1．


（2）解：連接OG，在Rt△AOG中，
∵r₁=1，AG=3-r₁=2，
tan∠OAG=

OG

AG

=

1

2

；       
         
（Ⅱ）（1）解：連接O₁A、O₂B，作O₁D⊥AB交于點(diǎn)D、O₂E⊥AB交于點(diǎn)E，AO₁、BO₂分別平分∠CAB、∠ABC．
由tan∠OAG=

1

2

，知tan∠O₁AD=

1

2

，
同理可得：tan∠O₂BE=

O2E

BE

=

1

3

，
∴AD=2r₂，DE=2r₂，BE=3r₂．
∵AD+DE+BE=5，
r₂=

5

7

；
                                
（2）解：如圖③，連接O₁A、O_nB，作O₁D⊥AB交于點(diǎn)D、O₂E⊥AB交于點(diǎn)E、…、O_nM⊥AB交于點(diǎn)M．
則AO₁、BO_n分別平分∠CAB、∠ABC．
tan∠O₁AD=

1

2

，tan∠O_nBM=

1

3

，
AD=2r_n，DE=2r_n，…，MB=3r_n，
又∵AD+DE+…+MB=5，
2r_n+2r_n+…+3r_n=5，
（2n+3）r_n=5，
r_n=

5

2n+3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線長(zhǎng)定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系以及相切兩圓的性質(zhì)，根據(jù)已知得出tan∠O₁AD=

1

2

，tan∠O₂BE=

O2E

BE

=

1

3

是解題關(guān)鍵．