Question

【題目】如圖1，邊長為4的正方形ABCD中，點E在AB邊上（不與點A，B重合），點F在BC邊上（不與點B，C重合）．

第一次操作：將線段EF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E落在正方形上時，記為點G；

第二次操作：將線段FG繞點G順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點F落在正方形上時，記為點H；依次操作下去…

（1）圖2中的△EFD是經(jīng)過兩次操作后得到的，其形狀為 ，

（2）若經(jīng)過三次操作可得到四邊形EFGH．

①請判斷四邊形EFGH的形狀為 ，此時AE與BF的數(shù)量關(guān)系是 ；

②以①中的結(jié)論為前提，設(shè)AE的長為x，四邊形EFGH的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及面積y的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）等邊三角形；（2）正方形；AE=BF; =2（x-2）2+8，8≤y＜16．

【解析】

試題分析：（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，易得△EFD是等邊三角形；利用等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理求出EF的長；

（2）①四邊形EFGH的四邊長都相等，所以是正方形；利用三角形全等證明AE=BF；

②求面積y的表達(dá)式，這是一個二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出最值及y的取值范圍．

試題解析：（1）如題圖2，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知EF=DF=DE，則△DEF為等邊三角形．

在Rt△ADE與Rt△CDF中，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）

∴AE=CF．

設(shè)AE=CF=x，則BE=BF=4-x

∴△BEF為等腰直角三角形．

∴EF=BF=（4-x）．

∴DE=DF=EF=（4-x）．

在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+AD2=DE2，即：x+42=[（4-x]2，

解得：x1=8-4，x2=8+4（舍去）

∴EF=（4-x）=4-4．

DEF的形狀為等邊三角形，EF的長為4-4．

（2）①四邊形EFGH的形狀為正方形，此時AE=BF．理由如下：

依題意畫出圖形，如答圖1所示：

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，EF=FG=GH=HE，∴四邊形EFGH的形狀為正方形．

∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3．

∵∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠2=∠4．

在△AEH與△BFE中，

∴△AEH≌△BFE（ASA）

∴AE=BF．

②利用①中結(jié)論，易證△AEH、△BFE、△CGF、△DHG均為全等三角形，

∴BF=CG=DH=AE=x，AH=BE=CF=DG=4-x．

∴y=S正方形ABCD-4S△AEH=4×4-4×x（4-x）=2x2-8x+16．

∴y=2x2-8x+16（0＜x＜4）

∵y=2x2-8x+16=2（x-2）2+8，

∴當(dāng)x=2時，y取得最小值8；當(dāng)x=0時，y=16，

∴y的取值范圍為：8≤y＜16．