Question

（2009•畢節(jié)地區(qū)）如圖所示，⊙O₁和⊙O₂外切于點(diǎn)C，AB是⊙O₁和⊙O₂的外公切線，A、B為切點(diǎn)，且∠ACB=90°．以AB所在直線為軸，過點(diǎn)C且垂直于AB的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，已知AO=4，OB=1．
（1）分別求出A、B、C各點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（3）如果⊙O₁的半徑是5，問這條拋物線的頂點(diǎn)是否落在兩圓連心線O₁ O₂上？如果在，請(qǐng)證明；如果不在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理求出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用AO=4，OB=1，即可得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）用待定系數(shù)法即可求出經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)解析式；
（3）過C作兩圓的公切線，交AB于點(diǎn)D，由切線長(zhǎng)定理可求出D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求出過C，D兩點(diǎn)直線的解析式，根據(jù)過一點(diǎn)且互相垂直的兩條直線解析式的關(guān)系可求出過兩圓圓心的直線解析式，再把拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的解析式看是否適合即可．

解答：解：（1）∵AO=4，OB=1，
∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：（-4，0），（1，0），
∵∠ACB=90°，
設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y），則AB²=AC²+BC²，
即（|-4-1|）²=（-4）²+y²+1²+y²，
即25=17+2y²，解得y=2（舍去）或y=-2．
故C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），

（2）設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c，
則

16a-4b+c=0 a+b+c=0 c=-2

，
解得

a= 1 2 b= 3 2 c=-2

，
故所求二次函數(shù)的解析式為y=

1

2

x²+

3

2

x-2．

（3）過C作兩圓的公切線CD交AB于D，則AD=BD=CD，由A（-4，0），B（1，0）可知D（-

3

2

，0），
設(shè)過CD兩點(diǎn)的直線為y=kx+b，則

- 3 2 k+b=0 b=-2

，
解得

k=- 4 3 b=-2

，
故此一次函數(shù)的解析式為y=-

4

3

x-2，
∵過O₁，O₂的直線必過C點(diǎn)且與直線y=-

4

3

x-2垂直，
故過O₁，O₂的直線的解析式為y=

3

4

x-2．
由（2）中所求拋物線的解析式可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3

2

，-

25

8

），
代入直線解析式得

3

4

×（-

3

2

）-2=-

25

8

，故這條拋物線的頂點(diǎn)落在兩圓的連心O₁O₂上．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)兩圓外切的條件作出輔助線，結(jié)合拋物線和直線的性質(zhì)解答是解題關(guān)鍵．