Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)．

（1）實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；

①作∠DAC的平分線AM；

②連接BE并延長(zhǎng)交AM于點(diǎn)F；

（2）猜想與證明：試猜想AF與BC有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）AF∥BC，且AF=BC，理由見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意畫(huà)出圖形即可；

（2）首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)證明∠C=∠FAC，進(jìn)而可得AF∥BC；然后再證明△AEF≌△CEB，即可得到AF=BC．

解：（1）如圖所示；

（2）AF∥BC，且AF=BC，

理由如下：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C，

由作圖可得∠DAC=2∠FAC，

∴∠C=∠FAC，

∴AF∥BC，

∵E為AC中點(diǎn)，

∴AE=EC，

在△AEF和△CEB中，

∴△AEF≌△CEB（ASA）．

∴AF=BC．